Номер 29, страница 61 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = 2x + 3;$

2) $y = x^2 - 1$, если $x \ge 0.$

1) Дана функция $y = 2x + 3$. Это линейная функция, ее график — прямая линия.

Сначала найдем функцию, обратную данной. Для этого в уравнении $y = 2x + 3$ поменяем местами переменные $x$ и $y$, а затем выразим $y$ через $x$:

$x = 2y + 3$
$2y = x - 3$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ или $y = 0.5x - 1.5$.
Это и есть обратная функция. Ее график также является прямой линией.

Для построения графика исходной функции $y = 2x + 3$ найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 2(0) + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
• Если $x = -1$, то $y = 2(-1) + 3 = 1$. Получаем точку $(-1; 1)$.

Проведем прямую через эти две точки, это и будет график функции $y = 2x + 3$.

Для построения графика обратной функции $y = 0.5x - 1.5$ также найдем координаты двух точек:

• Если $x = 3$, то $y = 0.5(3) - 1.5 = 1.5 - 1.5 = 0$. Получаем точку $(3; 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 0.5(1) - 1.5 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$.

Проведем прямую через эти две точки. Заметим, что координаты точек обратной функции $(3; 0)$ и $(1; -1)$ можно было получить, поменяв местами координаты соответствующих точек исходной функции $(0; 3)$ и $(-1; 1)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 0.5x - 1.5$. Графиком исходной функции является прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(-1; 1)$. Графиком обратной функции является прямая, проходящая через точки $(3; 0)$ и $(1; -1)$. Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

2) Дана функция $y = x^2 - 1$ при условии $x \geq 0$. Графиком этой функции является правая ветвь параболы $y = x^2 - 1$, вершина которой находится в точке $(0; -1)$.

Область определения исходной функции $D(y) = [0; +\infty)$. Найдем ее область значений. Так как по условию $x \geq 0$, то $x^2 \geq 0$, и следовательно $x^2 - 1 \geq -1$. Таким образом, область значений $E(y) = [-1; +\infty)$.

Теперь найдем обратную функцию. Для этого в уравнении $y = x^2 - 1$ поменяем местами $x$ и $y$ и выразим $y$ через $x$:

$x = y^2 - 1$
$y^2 = x + 1$
$y = \pm\sqrt{x + 1}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \geq -1$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \geq 0$. Поскольку $y$ должно быть неотрицательным, мы выбираем знак "плюс" перед корнем.
Итак, обратная функция: $y = \sqrt{x + 1}$.

Для построения графика исходной функции $y = x^2 - 1$ при $x \geq 0$ найдем несколько точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0^2 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^2 - 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 - 1 = 3$. Точка $(2; 3)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график исходной функции.

Для построения графика обратной функции $y = \sqrt{x + 1}$ можно использовать точки, симметричные точкам исходного графика относительно прямой $y=x$:

• Точка $(-1; 0)$.
• Точка $(0; 1)$.
• Точка $(3; 2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, мы получим график обратной функции. Этот график является верхней ветвью параболы $x = y^2 - 1$, которая открывается вправо.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x+1}$. График исходной функции — правая ветвь параболы $y = x^2 - 1$ с вершиной в $(0; -1)$. График обратной функции — график функции $y = \sqrt{x+1}$, который является верхней ветвью параболы $x = y^2 - 1$ с началом в точке $(-1; 0)$. Графики симметричны относительно прямой $y = x$.