Номер 308, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

308. Найдите, при каких значениях a функция

$f(x) = \sin^2 x - (2a + 1)x$:

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

Дана функция $f(x) = \sin^2 x - (2a + 1)x$. Эта функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых ее производная равна нулю или не существует. Так как данная функция дифференцируема на всей числовой оси, ее критические точки — это корни уравнения $f'(x) = 0$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin^2 x)' - ((2a + 1)x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' - (2a + 1) = 2\sin x \cos x - (2a + 1)$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:
$f'(x) = \sin(2x) - (2a + 1)$.

1) не имеет критических точек;

Функция не имеет критических точек, если уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений.
$ \sin(2x) - (2a + 1) = 0 $
$ \sin(2x) = 2a + 1 $

Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$. Следовательно, уравнение не будет иметь решений, если значение выражения $2a + 1$ находится вне этого отрезка. Это условие можно записать в виде совокупности двух неравенств:
$ 2a + 1 > 1 $ или $ 2a + 1 < -1 $.

Решим каждое неравенство:
1) $ 2a + 1 > 1 \implies 2a > 0 \implies a > 0 $.
2) $ 2a + 1 < -1 \implies 2a < -2 \implies a < -1 $.

Объединяя решения, получаем, что функция не имеет критических точек при $a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

2) не имеет точек экстремума.

Точки экстремума (минимума или максимума) могут существовать только в критических точках. Для того чтобы критическая точка являлась точкой экстремума, необходимо, чтобы производная $f'(x)$ меняла знак при переходе через эту точку.
Функция не будет иметь точек экстремума в двух случаях:
а) у функции нет критических точек;
б) критические точки существуют, но производная в них не меняет свой знак.

Случай а) был рассмотрен в пункте 1. Функция не имеет критических точек (а значит, и точек экстремума) при $a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

Рассмотрим случай б). Критические точки существуют, если уравнение $f'(x) = 0$ имеет решения, то есть когда $-1 \le 2a + 1 \le 1$. Решим это двойное неравенство:
$ -1 - 1 \le 2a \le 1 - 1 $
$ -2 \le 2a \le 0 $
$ -1 \le a \le 0 $

Теперь проанализируем, меняет ли знак производная $f'(x) = \sin(2x) - (2a + 1)$ при этих значениях $a$.
Если $-1 < a < 0$, то $-1 < 2a+1 < 1$. В этом случае график функции $y = \sin(2x)$ пересекает прямую $y = 2a+1$. Значит, производная $f'(x)$ будет принимать как положительные, так и отрицательные значения, меняя знак в точках пересечения. Следовательно, при $-1 < a < 0$ функция имеет точки экстремума.

Остается рассмотреть граничные значения: $a = -1$ и $a = 0$.
При $a = 0$:
$ f'(x) = \sin(2x) - (2 \cdot 0 + 1) = \sin(2x) - 1 $.
Так как $\sin(2x) \le 1$ для любого $x$, то $f'(x) = \sin(2x) - 1 \le 0$ для любого $x$. Производная всегда неположительна. В критических точках, где $\sin(2x) = 1$, она равна нулю, но не меняет своего знака. Следовательно, при $a = 0$ функция не имеет точек экстремума.

При $a = -1$:
$ f'(x) = \sin(2x) - (2 \cdot (-1) + 1) = \sin(2x) - (-1) = \sin(2x) + 1 $.
Так как $\sin(2x) \ge -1$ для любого $x$, то $f'(x) = \sin(2x) + 1 \ge 0$ для любого $x$. Производная всегда неотрицательна. В критических точках, где $\sin(2x) = -1$, она равна нулю, но не меняет своего знака. Следовательно, при $a = -1$ функция не имеет точек экстремума.

Объединяя все случаи, в которых функция не имеет точек экстремума, получаем:
$a \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$ (случай а), а также $a = -1$ и $a = 0$ (случай б).
Итоговое множество значений $a$: $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.
Ответ: $a \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.