Номер 262, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. Сколько корней уравнения $\operatorname{ctg} 5x \cos x + \sin x - \sqrt{2} \cos 4x = 0$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}]$?

Исходное уравнение: $ \text{ctg}(5x) \cos(x) + \sin(x) - \sqrt{2}\cos(4x) = 0 $. Требуется найти количество корней этого уравнения на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right] $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $ \text{ctg}(5x) $ определена, если ее аргумент не является кратным $ \pi $. Это значит, что $ \sin(5x) \neq 0 $, откуда $ 5x \neq \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Следовательно, ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

2. Преобразуем уравнение. Заменим $ \text{ctg}(5x) $ на $ \frac{\cos(5x)}{\sin(5x)} $:
$ \frac{\cos(5x)}{\sin(5x)} \cos(x) + \sin(x) - \sqrt{2}\cos(4x) = 0 $
Умножим обе части уравнения на $ \sin(5x) $, учитывая, что $ \sin(5x) \neq 0 $ по ОДЗ:
$ \cos(5x)\cos(x) + \sin(5x)\sin(x) - \sqrt{2}\cos(4x)\sin(5x) = 0 $

Применим формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $ к первым двум слагаемым:
$ \cos(5x - x) - \sqrt{2}\cos(4x)\sin(5x) = 0 $
$ \cos(4x) - \sqrt{2}\cos(4x)\sin(5x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos(4x) $ за скобки:
$ \cos(4x)(1 - \sqrt{2}\sin(5x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к двум случаям:
1) $ \cos(4x) = 0 $
2) $ 1 - \sqrt{2}\sin(5x) = 0 $

3. Решим каждое уравнение и отберем корни, принадлежащие заданному промежутку.

Решение для $ \cos(4x) = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $
Проверим, что эти корни удовлетворяют ОДЗ. Если $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} $, то $ 5x = \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi n}{4} $. $ \sin(5x) $ в этом случае никогда не обращается в ноль.
Отберем корни на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right] $:
$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \le \frac{\pi}{6} $
Разделив на $ \pi $, получим: $ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{8} + \frac{n}{4} \le \frac{1}{6} $.
Умножим на 24: $ -12 \le 3 + 6n \le 4 $.
Вычтем 3: $ -15 \le 6n \le 1 $.
Разделим на 6: $ -2.5 \le n \le \frac{1}{6} $.
Целые значения $ n $, удовлетворяющие этому неравенству: $ n = -2, -1, 0 $.
При $ n = -2: x = \frac{\pi}{8} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{3\pi}{8} $.
При $ n = -1: x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8} $.
При $ n = 0: x = \frac{\pi}{8} $.
Эта серия дает 3 корня.

Решение для $ 1 - \sqrt{2}\sin(5x) = 0 $
$ \sin(5x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Поскольку $ \sin(5x) \neq 0 $, ОДЗ выполнено автоматически.
Решения этого уравнения имеют две серии:
а) $ 5x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi m}{5}, \quad m \in \mathbb{Z} $
б) $ 5x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \implies x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi m}{5}, \quad m \in \mathbb{Z} $

Отберем корни для серии (а) $ x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi m}{5} $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right] $:
$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{20} + \frac{2m}{5} \le \frac{1}{6} $. Умножим на 60: $ -30 \le 3 + 24m \le 10 $.
$ -33 \le 24m \le 7 \implies -1.375 \le m \le 0.29... $
Целые значения $ m $: $ m = -1, 0 $.
При $ m = -1: x = \frac{\pi}{20} - \frac{2\pi}{5} = -\frac{7\pi}{20} $.
При $ m = 0: x = \frac{\pi}{20} $.
Эта серия дает 2 корня.

Отберем корни для серии (б) $ x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi m}{5} $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{6}\right] $:
$ -\frac{1}{2} \le \frac{3}{20} + \frac{2m}{5} \le \frac{1}{6} $. Умножим на 60: $ -30 \le 9 + 24m \le 10 $.
$ -39 \le 24m \le 1 \implies -1.625 \le m \le 0.04... $
Целые значения $ m $: $ m = -1, 0 $.
При $ m = -1: x = \frac{3\pi}{20} - \frac{2\pi}{5} = -\frac{5\pi}{20} = -\frac{\pi}{4} $.
При $ m = 0: x = \frac{3\pi}{20} $.
Эта серия дает 2 корня.

Все найденные корни ($-\frac{3\pi}{8}, -\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}, -\frac{7\pi}{20}, \frac{\pi}{20}, -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{20}$) различны.
Суммируя количество корней из всех серий, получаем общее количество корней на заданном промежутке: $ 3 + 2 + 2 = 7 $.

Ответ: 7