Номер 245, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

245. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin(x - 1)$;

2) $y = \arccos(x^2 - 8)$;

3) $y = \operatorname{arctg}\frac{4}{\sqrt{2-x}}$.

1) $y = \arcsin(x - 1)$

Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(u)$, есть отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что аргумент функции должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le u \le 1$

В данном случае, $u = x - 1$. Подставим это в неравенство:

$-1 \le x - 1 \le 1$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le x - 1 + 1 \le 1 + 1$

$0 \le x \le 2$

Таким образом, область определения функции есть отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $D(y) = [0, 2]$.

2) $y = \arccos(x^2 - 8)$

Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(u)$, также есть отрезок $[-1, 1]$. Аргумент функции должен удовлетворять неравенству:

$-1 \le u \le 1$

В данном случае, $u = x^2 - 8$. Подставим в неравенство:

$-1 \le x^2 - 8 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 8 \ge -1 \\ x^2 - 8 \le 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 8 \ge -1$

$x^2 \ge 7$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 8 \le 1$

$x^2 \le 9$

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-3, 3]$.

Область определения исходной функции — это пересечение решений этих двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, +\infty)$ и $[-3, 3]$.

Учитывая, что $2 < \sqrt{7} < 3$ (так как $4 < 7 < 9$), получаем:

$[-3, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, 3]$

Ответ: $D(y) = [-3, -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}, 3]$.

3) $y = \operatorname{arctg}\frac{4}{\sqrt{2-x}}$

Область определения функции арктангенс, $y = \operatorname{arctg}(u)$, есть вся числовая прямая, то есть $u \in (-\infty, +\infty)$. Поэтому ограничения на область определения исходной функции накладываются только выражением, стоящим в аргументе арктангенса:

$u = \frac{4}{\sqrt{2-x}}$

Это выражение имеет смысл, когда выполняются два условия:

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{2-x} \ne 0$.

Объединяя эти два условия, получаем одно строгое неравенство:

$2 - x > 0$

Решим это неравенство:

$2 > x$, или $x < 2$.

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 2.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 2)$.