Страница 41 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\text{tg}\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся общей формулой для корней уравнения вида $\tg(y) = a$, которая имеет вид $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Исходное уравнение:

$\tg(4x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Применяя общую формулу, получаем:

$4x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Значение арктангенса $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $-\frac{\pi}{6}$. Подставим это значение в уравнение:

$4x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \pi n$

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$4x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 12:

$4x = -\frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$4x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}$

Мы получили общее решение уравнения. Теперь нам нужно найти наименьший положительный корень. Для этого нужно найти наименьшее целое значение $n$, при котором $x > 0$.

Решим неравенство:

$-\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi n}{4} > 0$

$\frac{\pi n}{4} > \frac{5\pi}{48}$

Разделим обе части на $\pi$ и умножим на 4:

$n > \frac{5 \cdot 4}{48}$

$n > \frac{20}{48}$

$n > \frac{5}{12}$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = 1$.

Подставим $n=1$ в формулу для $x$, чтобы найти наименьший положительный корень:

$x = -\frac{5\pi}{48} + \frac{\pi \cdot 1}{4} = -\frac{5\pi}{48} + \frac{12\pi}{48} = \frac{-5\pi + 12\pi}{48} = \frac{7\pi}{48}$

Этот корень является положительным и наименьшим, так как он соответствует наименьшему возможному целому $n$.

Ответ: $\frac{7\pi}{48}$

240. Сколько корней уравнения $tg2x = \sqrt{3}$ принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$?

Для ответа на вопрос необходимо сначала найти общее решение тригонометрического уравнения, а затем определить, сколько из этих решений попадает в указанный промежуток.

Решим уравнение $\tg(2x) = \sqrt{3}$.

Аргумент тангенса $2x$ можно выразить через арктангенс:

$2x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

Разделив обе части на 2, найдем общее решение для $x$:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$

Теперь найдем все корни, принадлежащие промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2} \le \pi$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi k}{2} \le \pi - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$-\frac{4\pi}{6} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{5\pi}{6}$

$-\frac{2\pi}{3} \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{5\pi}{6}$

Умножим все части на $\frac{2}{\pi}$:

$-\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2}{\pi} \le k \le \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{2}{\pi}$

$-\frac{4}{3} \le k \le \frac{5}{3}$

В числовом виде это примерно $-1.33 \le k \le 1.67$.

Поскольку $k$ должно быть целым числом, возможны следующие значения: $k = -1, 0, 1$.

Для каждого из этих значений $k$ найдем соответствующий корень $x$:

• При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 3\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$.
• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{6} + 0 = \frac{\pi}{6}$.
• При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Все три найденных корня ($-\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{2\pi}{3}$) принадлежат промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$. Таким образом, уравнение имеет 3 корня на данном промежутке.

Ответ: 3

241. Найдите:

1) arcsin $\frac{1}{2}$;

2) arccos $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) arctg $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

4) arcctg $\sqrt{3}$;

5) arcsin $(-\frac{\sqrt{2}}{2})$;

6) arccos $(-\frac{1}{2})$;

7) arctg $(-\sqrt{3})$;

8) arcctg $(-1)$.

1) $\arcsin\frac{1}{2}$

По определению арксинуса, $\arcsin a$ – это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Нам нужно найти угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

2) $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

По определению арккосинуса, $\arccos a$ – это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Нам нужно найти угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

3) $\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$

По определению арктангенса, $\text{arctg } a$ – это угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Нам нужно найти угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, $\text{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

4) $\text{arcctg}\sqrt{3}$

По определению арккотангенса, $\text{arcctg } a$ – это угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Нам нужно найти угол, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$.
Следовательно, $\text{arcctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

5) $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Арксинус является нечетной функцией, то есть $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Поэтому, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Значит, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

6) $\arccos(-\frac{1}{2})$

Для арккосинуса справедливо свойство: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
Поэтому, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$. Значит, $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

7) $\text{arctg}(-\sqrt{3})$

Арктангенс является нечетной функцией, то есть $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.
Поэтому, $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Значит, $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

8) $\text{arcctg}(-1)$

Для арккотангенса справедливо свойство: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.
Поэтому, $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.
Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $(0; \pi)$. Значит, $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

242. Найдите значение выражения:

1) $ \arccos 0 + \arcsin 1 + \text{arctg} \sqrt{3} + \text{arcctg} (-\sqrt{3}); $

2) $ 5 \arccos 1 - 6 \arcsin (-1) + 3 \text{arctg} 1 + 2 \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $

1) Найдем значение выражения $arccos(0) + arcsin(1) + arctg(\sqrt{3}) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Для этого вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства.

Значение $arccos(0)$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен 0. Таким углом является $\frac{\pi}{2}$.

Значение $arcsin(1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{2}$.

Значение $arctg(\sqrt{3})$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Таким углом является $\frac{\pi}{3}$.

Значение $arcctg(-\sqrt{3})$ — это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $-\sqrt{3}$. Используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Получаем: $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{6\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{6\pi + 2\pi + 5\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

Ответ: $\frac{13\pi}{6}$.

2) Найдем значение выражения $5arccos(1) - 6arcsin(-1) + 3arctg(1) + 2arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

Значение $arccos(1)$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен 1. Таким углом является 0. Следовательно, $5arccos(1) = 5 \cdot 0 = 0$.

Значение $arcsin(-1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Таким углом является $-\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $-6arcsin(-1) = -6 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = 3\pi$.

Значение $arctg(1)$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $3arctg(1) = 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Значение $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Получаем: $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Следовательно, $2arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$0 + 3\pi + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3\pi \cdot 12}{12} + \frac{3\pi \cdot 3}{12} + \frac{5\pi \cdot 4}{12} = \frac{36\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + \frac{20\pi}{12} = \frac{36\pi + 9\pi + 20\pi}{12} = \frac{65\pi}{12}$

Ответ: $\frac{65\pi}{12}$.

243. Вычислите:

1) $ \text{tg} \left( \arccos \frac{1}{2} \right); $

2) $ \cos \left( 2 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right); $

3) $ \sin \left( \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \text{arctg} \, 1 \right); $

4) $ \text{tg} \left( \text{arctg} \sqrt{3} - \text{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right). $

1) $\text{tg}(\text{arccos}\frac{1}{2})$

Сначала вычислим значение выражения в скобках. По определению, $\text{arccos}\frac{1}{2}$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{3}$.

Итак, $\text{arccos}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

2) $\text{cos}(2\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2})$

Сначала найдем значение $\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в выражение:

$\text{cos}(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \text{cos}(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Другой способ: можно использовать формулу косинуса двойного угла $\text{cos}(2\alpha) = 2\text{cos}^2\alpha - 1$.
Пусть $\alpha = \text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}$, тогда $\text{cos}\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{cos}(2\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\text{cos}^2(\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 = 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) $\text{sin}(\text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\text{arctg}1)$

Найдем значения обратных тригонометрических функций:

$\text{arcsin}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\text{sin}\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$\text{arctg}1 = \frac{\pi}{4}$, так как $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$ и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\text{sin}(\frac{\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \text{sin}(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = \text{sin}(\frac{3\pi}{4})$.

Используя формулу приведения, получаем: $\text{sin}(\frac{3\pi}{4}) = \text{sin}(\pi - \frac{\pi}{4}) = \text{sin}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4) $\text{tg}(\text{arctg}\sqrt{3} - \text{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}} + \text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2})$

Найдем значения каждого слагаемого в скобках:

$\text{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

$\text{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$

$\text{arccos}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$

Подставим эти значения в выражение:

$\text{tg}(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

244. Вычислите:

1) $tg(arctg 5);$

2) $sin(arcsin \frac{\pi}{7});$

3) $cos(arccos \frac{\sqrt{3}}{2}).$

1) По определению арктангенса, $arctg(a)$ — это такое число $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что $tg(\alpha) = a$. В выражении $tg(arctg(5))$, $arctg(5)$ является числом (углом), тангенс которого равен 5. Таким образом, применяя тангенс к этому числу, мы по определению получаем 5. Это следует из основного тождества для обратных тригонометрических функций: $tg(arctg(x)) = x$ для любого действительного числа $x$.
Ответ: 5

2) По определению арксинуса, $arcsin(a)$ — это такое число $\alpha$ из интервала $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что $sin(\alpha) = a$. Основное тождество для арксинуса гласит: $sin(arcsin(x)) = x$. Это тождество справедливо при условии, что $x$ принадлежит области определения арксинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{7}$. Нам нужно проверить, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\pi}{7} \le 1$.
Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$\frac{\pi}{7} \approx \frac{3.14159}{7} \approx 0.4488$.
Так как $-1 \le 0.4488 \le 1$, условие выполняется.
Следовательно, $sin(arcsin(\frac{\pi}{7})) = \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{\pi}{7}$

3) По определению арккосинуса, $arccos(a)$ — это такое число $\alpha$ из интервала $[0, \pi]$, что $cos(\alpha) = a$. Основное тождество для арккосинуса: $cos(arccos(x)) = x$. Это тождество справедливо при условии, что $x$ принадлежит области определения арккосинуса, то есть $x \in [-1, 1]$.
В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$.
Используя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$.
Так как $-1 \le 0.866 \le 1$, условие выполняется.
Следовательно, $cos(arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$