Страница 38 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Преобразуйте в произведение:

1) $1 + 2\sin\alpha$;

2) $\sqrt{2} \cos\alpha + 1$.

1)

Чтобы преобразовать выражение $1 + 2\sin\alpha$ в произведение, сначала вынесем множитель $2$ за скобки:
$1 + 2\sin\alpha = 2(\frac{1}{2} + \sin\alpha)$
Теперь заменим число $\frac{1}{2}$ на тригонометрическую функцию. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в наше выражение:
$2(\sin(\frac{\pi}{6}) + \sin\alpha)$
Далее применим формулу суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.
В данном случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$. Получаем:
$2 \cdot \left( 2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) \right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$
Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

2)

Чтобы преобразовать выражение $\sqrt{2}\cos\alpha + 1$ в произведение, вынесем за скобки множитель $\sqrt{2}$:
$\sqrt{2}\cos\alpha + 1 = \sqrt{2}(\cos\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}})$
Мы знаем, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Заменим это значение на равное ему значение косинуса угла: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим это в выражение:
$\sqrt{2}(\cos\alpha + \cos(\frac{\pi}{4}))$
Теперь используем формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.
В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$. Получаем:
$\sqrt{2} \cdot \left( 2\cos\left(\frac{\alpha+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\frac{\pi}{4}}{2}\right) \right) = 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8}\right)$
Ответ: $2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{8}\right)$

218. Докажите тождество:

1) $ \sin 5\alpha - \sin 6\alpha + \sin 8\alpha - \sin 7\alpha = -4\sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \sin \frac{13\alpha}{2}; $

2) $ \frac{\sin \alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 5\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha; $

3) $ \frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha; $

4) $ \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \cos 2\alpha \cos 2\beta. $

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(\sin(8\alpha) - \sin(6\alpha)) + (\sin(5\alpha) - \sin(7\alpha))$.

Воспользуемся формулой разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $.

Для первой группы: $ \sin(8\alpha) - \sin(6\alpha) = 2\sin\frac{8\alpha-6\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha+6\alpha}{2} = 2\sin\alpha\cos(7\alpha) $.

Для второй группы: $ \sin(5\alpha) - \sin(7\alpha) = 2\sin\frac{5\alpha-7\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha+7\alpha}{2} = 2\sin(-\alpha)\cos(6\alpha) = -2\sin\alpha\cos(6\alpha) $.

Теперь левая часть выглядит так: $ 2\sin\alpha\cos(7\alpha) - 2\sin\alpha\cos(6\alpha) $. Вынесем общий множитель $ 2\sin\alpha $ за скобки: $ 2\sin\alpha(\cos(7\alpha) - \cos(6\alpha)) $.

Применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

$ \cos(7\alpha) - \cos(6\alpha) = -2\sin\frac{7\alpha+6\alpha}{2}\sin\frac{7\alpha-6\alpha}{2} = -2\sin\frac{13\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} $.

Подставим это выражение обратно: $ 2\sin\alpha \cdot (-2\sin\frac{13\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}) = -4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\alpha\sin\frac{13\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов.

Формула суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Преобразуем числитель: $ \sin\alpha + \sin(5\alpha) = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(-2\alpha) = 2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha) $.

Формула суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

Преобразуем знаменатель: $ \cos\alpha + \cos(5\alpha) = 2\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2} = 2\cos(3\alpha)\cos(-2\alpha) = 2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha) $.

Подставим полученные выражения в левую часть: $ \frac{2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha)}{2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha)} $.

Сократив дробь на $ 2\cos(2\alpha) $, получим $ \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} $, что по определению равно $ \text{tg}(3\alpha) $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе.

Числитель: $ (\sin\alpha + \sin(3\alpha)) + \sin(2\alpha) $. Применим формулу суммы синусов к выражению в скобках: $ \sin\alpha + \sin(3\alpha) = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin(2\alpha)\cos(-\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos\alpha $.

Тогда числитель равен $ 2\sin(2\alpha)\cos\alpha + \sin(2\alpha) $. Вынесем $ \sin(2\alpha) $ за скобки: $ \sin(2\alpha)(2\cos\alpha + 1) $.

Знаменатель: $ (\cos\alpha + \cos(3\alpha)) + \cos(2\alpha) $. Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках: $ \cos\alpha + \cos(3\alpha) = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos(2\alpha)\cos(-\alpha) = 2\cos(2\alpha)\cos\alpha $.

Тогда знаменатель равен $ 2\cos(2\alpha)\cos\alpha + \cos(2\alpha) $. Вынесем $ \cos(2\alpha) $ за скобки: $ \cos(2\alpha)(2\cos\alpha + 1) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $ \frac{\sin(2\alpha)(2\cos\alpha + 1)}{\cos(2\alpha)(2\cos\alpha + 1)} $.

Сократив общий множитель $ (2\cos\alpha + 1) $, получим $ \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \text{tg}(2\alpha) $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства используем формулу понижения степени $ \cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} $ и $ \sin^2 y = \frac{1-\cos(2y)}{2} $.

Преобразуем левую часть: $ \cos^2(\alpha - \beta) - \sin^2(\alpha + \beta) = \frac{1+\cos(2(\alpha - \beta))}{2} - \frac{1-\cos(2(\alpha + \beta))}{2} $.

Приведем к общему знаменателю: $ \frac{1+\cos(2\alpha - 2\beta) - (1-\cos(2\alpha + 2\beta))}{2} = \frac{1+\cos(2\alpha - 2\beta) - 1+\cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = \frac{\cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} $.

Воспользуемся формулой суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

В нашем случае $ x = 2\alpha + 2\beta $ и $ y = 2\alpha - 2\beta $. Тогда $ \frac{x+y}{2} = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha $ и $ \frac{x-y}{2} = \frac{4\beta}{2} = 2\beta $.

Таким образом, $ \cos(2\alpha - 2\beta) + \cos(2\alpha + 2\beta) = 2\cos(2\alpha)\cos(2\beta) $.

Подставим это в наше выражение: $ \frac{2\cos(2\alpha)\cos(2\beta)}{2} = \cos(2\alpha)\cos(2\beta) $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

219. Упростите выражение:

1) $(\frac{(\sin 7\alpha + \sin \alpha)(\cos 7\alpha + \cos \alpha)}{1 + \cos 6\alpha});$

2) $\left(\frac{\sin \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos 4\alpha}\right) \cdot \frac{\cos 10\alpha - \cos 6\alpha}{\sin 3\alpha};$

3) $(\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2.$

1) Для упрощения числителя воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

Применяя эти формулы к числителю, получаем:

$\sin 7\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha$

$\cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{7\alpha+\alpha}{2} \cos \frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha$

Тогда числитель равен:

$(2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha)(2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha) = 4 \sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos^2 3\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, преобразуем выражение:

$4 \sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos^2 3\alpha = 2 \cdot (2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha) \cos^2 3\alpha = 2 \sin 8\alpha \cos^2 3\alpha$

Теперь преобразуем знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$:

$1 + \cos 6\alpha = 1 + \cos(2 \cdot 3\alpha) = 2 \cos^2 3\alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{2 \sin 8\alpha \cos^2 3\alpha}{2 \cos^2 3\alpha} = \sin 8\alpha$

Ответ: $\sin 8\alpha$.

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos 4\alpha} = \frac{\sin \alpha \cos 4\alpha - \cos \alpha \sin 4\alpha}{\sin 4\alpha \cos 4\alpha}$

В числителе используем формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sin \alpha \cos 4\alpha - \cos \alpha \sin 4\alpha = \sin(\alpha - 4\alpha) = \sin(-3\alpha) = -\sin 3\alpha$

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$\sin 4\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2} (2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 4\alpha) = \frac{1}{2} \sin 8\alpha$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{-\sin 3\alpha}{\frac{1}{2} \sin 8\alpha} = -\frac{2 \sin 3\alpha}{\sin 8\alpha}$

Теперь упростим вторую дробь. В числителе применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$:

$\cos 10\alpha - \cos 6\alpha = -2 \sin \frac{10\alpha+6\alpha}{2} \sin \frac{10\alpha-6\alpha}{2} = -2 \sin 8\alpha \sin 2\alpha$

Вторая дробь равна:

$\frac{-2 \sin 8\alpha \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}$

Перемножим полученные выражения:

$(-\frac{2 \sin 3\alpha}{\sin 8\alpha}) \cdot (\frac{-2 \sin 8\alpha \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}) = \frac{(-2 \sin 3\alpha)(-2 \sin 8\alpha \sin 2\alpha)}{\sin 8\alpha \sin 3\alpha}$

Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$(-2) \cdot (-2 \sin 2\alpha) = 4 \sin 2\alpha$

Ответ: $4 \sin 2\alpha$.

3) Раскроем квадраты, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta$

$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta$

Сложим эти два выражения:

$(\cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta)$

Сгруппируем слагаемые:

$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2 \cos \alpha \cos \beta + 2 \sin \alpha \sin \beta$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 + 1 + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$

Выражение в скобках является формулой косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$2 + 2 \cos(\alpha - \beta)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2(1 + \cos(\alpha - \beta))$

Используем формулу понижения степени $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$. Полагая $2x = \alpha - \beta$, получаем $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2(1 + \cos(\alpha - \beta)) = 2 \cdot (2 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}) = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$

Ответ: $4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

220. Докажите тождество

$4\cos^2 \alpha - 1 = 4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$

Для доказательства тождества преобразуем его правую часть, так как она выглядит более сложной. Цель — привести ее к виду левой части $4\cos^2 \alpha - 1$.

Правая часть: $4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

В нашем случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$.

$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha$

Подставим известные значения тригонометрических функций: $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha$

$\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha$

Теперь подставим эти выражения в правую часть исходного тождества:

$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right)$

Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$4\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\sin\alpha\right)^2\right] = 4\left(\frac{3}{4}\cos^2\alpha - \frac{1}{4}\sin^2\alpha\right)$

Раскроем скобки:

$4 \cdot \frac{3}{4}\cos^2\alpha - 4 \cdot \frac{1}{4}\sin^2\alpha = 3\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Заменим $\sin^2\alpha$ в нашем выражении:

$3\cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 3\cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha - 1$

Таким образом, мы преобразовали правую часть уравнения и получили выражение, в точности совпадающее с левой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

221. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $\sin 4\alpha \cos 7\alpha;$

2) $\sin 2\alpha \sin \alpha;$

3) $\cos 25^\circ \cos 50^\circ;$

4) $\sin \frac{5\pi}{24} \cos \frac{11\pi}{24};$

5) $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta);$

6) $\cos \alpha \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right).$

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму используются следующие формулы:

• $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$
• $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$
• $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$

1)

Для преобразования произведения $\sin 4\alpha \cos 7\alpha$ в сумму используем формулу $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.

В нашем случае $A = 4\alpha$ и $B = 7\alpha$.

Подставляем значения в формулу:

$\sin 4\alpha \cos 7\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha + 7\alpha) + \sin(4\alpha - 7\alpha))$

$= \frac{1}{2}(\sin(11\alpha) + \sin(-3\alpha))$

Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$= \frac{1}{2}(\sin(11\alpha) - \sin(3\alpha))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin(11\alpha) - \sin(3\alpha))$.

2)

Для преобразования произведения $\sin 2\alpha \sin \alpha$ в сумму используем формулу $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$.

Здесь $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$.

Подставляем в формулу:

$\sin 2\alpha \sin \alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha))$

$= \frac{1}{2}(\cos(\alpha) - \cos(3\alpha))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(3\alpha))$.

3)

Для преобразования произведения $\cos 25^\circ \cos 50^\circ$ в сумму используем формулу $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.

Пусть $A = 50^\circ$ и $B = 25^\circ$.

Подставляем значения:

$\cos 50^\circ \cos 25^\circ = \frac{1}{2}(\cos(50^\circ + 25^\circ) + \cos(50^\circ - 25^\circ))$

$= \frac{1}{2}(\cos(75^\circ) + \cos(25^\circ))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 75^\circ + \cos 25^\circ)$.

4)

Используем формулу $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$ для произведения $\sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24}$.

Здесь $A = \frac{5\pi}{24}$ и $B = \frac{11\pi}{24}$.

$\sin\frac{5\pi}{24}\cos\frac{11\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{5\pi}{24} + \frac{11\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{24} - \frac{11\pi}{24}\right)\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{16\pi}{24}\right) + \sin\left(-\frac{6\pi}{24}\right)\right)$

Упрощаем дроби в аргументах синусов:

$= \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

Используя нечетность синуса, $\sin(-x) = -\sin(x)$:

$= \frac{1}{2}\left(\sin\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\right)$

Ответ: $\frac{1}{2}\left(\sin\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{4}\right)$.

5)

Для преобразования произведения $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)$ в сумму воспользуемся формулой $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$.

В данном случае $A = \alpha + \beta$ и $B = \alpha - \beta$.

Подставляем в формулу:

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) - \cos((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)))$

Упрощаем выражения в скобках:

$A - B = (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta) = 2\beta$

$A + B = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 2\alpha$

Таким образом, получаем:

$= \frac{1}{2}(\cos(2\beta) - \cos(2\alpha))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos(2\beta) - \cos(2\alpha))$.

6)

Для преобразования произведения $\cos \alpha \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ в сумму применим формулу $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.

Пусть $A = \alpha$ и $B = \frac{\pi}{3} - \alpha$.

$\cos \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha\right) + \cos\left(\alpha - \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right)\right)$

Упростим аргументы косинусов:

$A+B = \frac{\pi}{3}$

$A-B = 2\alpha - \frac{\pi}{3}$

Получаем:

$= \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)\right)$

Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, поэтому можем подставить это значение:

$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$.

222. Докажите тождество:

1) $\cos 2\alpha + 2\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{6} \right) = 0,5;$

2) $\cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 4\alpha \sin \alpha = \cos 3\alpha \cos 2\alpha;$

3) $\sin^2 \alpha + \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = \frac{1}{4};$

4) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = 1.$

1) Докажем тождество: $\cos(2\alpha) + 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = 0,5$.

Для преобразования левой части воспользуемся формулой произведения синусов: $2\sin(x)\sin(y) = \cos(x-y) - \cos(x+y)$.

В данном случае $x = \alpha + \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{6}$.

Найдём $x-y$ и $x+y$:

$x-y = (\alpha + \frac{\pi}{6}) - (\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

$x+y = (\alpha + \frac{\pi}{6}) + (\alpha - \frac{\pi}{6}) = 2\alpha$.

Подставим полученные значения в формулу произведения синусов:

$2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2\alpha)$.

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$\cos(2\alpha) + (\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(2\alpha)) = \cos(2\alpha) - \cos(2\alpha) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.

Значение косинуса $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} = 0,5$.

Таким образом, левая часть равна $0,5$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: $0,5 = 0,5$.

2) Докажем тождество: $\cos(2\alpha)\cos(\alpha) - \sin(4\alpha)\sin(\alpha) = \cos(3\alpha)\cos(2\alpha)$.

Преобразуем левую часть. Сначала используем формулу синуса двойного угла для $\sin(4\alpha)$: $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$.

$\cos(2\alpha)\cos(\alpha) - 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)\sin(\alpha)$.

Вынесем общий множитель $\cos(2\alpha)$ за скобки:

$\cos(2\alpha)(\cos(\alpha) - 2\sin(2\alpha)\sin(\alpha))$.

Преобразуем выражение $2\sin(2\alpha)\sin(\alpha)$ в скобках, используя формулу произведения синусов $2\sin(x)\sin(y) = \cos(x-y) - \cos(x+y)$, где $x=2\alpha$ и $y=\alpha$:

$2\sin(2\alpha)\sin(\alpha) = \cos(2\alpha-\alpha) - \cos(2\alpha+\alpha) = \cos(\alpha) - \cos(3\alpha)$.

Подставим результат обратно в наше выражение:

$\cos(2\alpha)(\cos(\alpha) - (\cos(\alpha) - \cos(3\alpha))) = \cos(2\alpha)(\cos(\alpha) - \cos(\alpha) + \cos(3\alpha)) = \cos(2\alpha)\cos(3\alpha)$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\cos(3\alpha)\cos(2\alpha) = \cos(3\alpha)\cos(2\alpha)$.

3) Докажем тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{4}$.

Преобразуем произведение косинусов в левой части, используя формулу $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2(x) - \sin^2(y)$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$.

$\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos^2(\frac{\pi}{3}) - \sin^2(\alpha)$.

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, то $\cos^2(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Теперь подставим это в левую часть исходного тождества:

$\sin^2(\alpha) + (\frac{1}{4} - \sin^2(\alpha)) = \sin^2(\alpha) + \frac{1}{4} - \sin^2(\alpha) = \frac{1}{4}$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

4) Докажем тождество: $\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = 1$.

Преобразуем произведение косинусов, используя ту же формулу, что и в предыдущем пункте: $\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2(x) - \sin^2(y)$.

Здесь $x = \alpha$ и $y = \beta$.

$\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + (\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$.

Упростим выражение, сократив $\sin^2(\beta)$:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) + \sin^2(\beta) - \sin^2(\beta) = (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)) + 0$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:

$1 + 0 = 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1=1$.