Страница 32 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Упростите выражение:

1) $2 \cos^2 \alpha - 2$;

2) $4 - \cos^2 2\beta - \sin^2 2\beta$;

3) $(\cos 10\alpha - 1)(\cos 10\alpha + 1)$;

4) $3 - \frac{3}{\cos^2 5\alpha}$;

5) $\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta - \frac{1}{\cos^2 4\alpha}$;

6) $\tan 3\alpha \cot 3\alpha + \tan^2 \frac{\alpha}{4}$;

7) $\frac{\tan 2\alpha \cos 2\alpha}{1 + \cot^2 2\alpha}$;

8) $\sin^2 \frac{x}{4} \left(\tan \frac{x}{4} + \cot \frac{x}{4}\right)$;

9) $(\sin 4\alpha - \cos 4\alpha)^2 + (\sin 4\alpha + \cos 4\alpha)^2$;

10) $\frac{1 + \tan^2 3\alpha (\sin^2 3\alpha - 1)}{\cos^2 3\alpha}$.

1) Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2\cos^2\alpha - 2 = 2(\cos^2\alpha - 1)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha$, получаем:
$2(-\sin^2\alpha) = -2\sin^2\alpha$.
Ответ: $-2\sin^2\alpha$.

2) Сгруппируем слагаемые и вынесем -1 за скобки:
$4 - \cos^2 2\beta - \sin^2 2\beta = 4 - (\cos^2 2\beta + \sin^2 2\beta)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ для $\theta = 2\beta$:
$4 - 1 = 3$.
Ответ: $3$.

3) Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \cos 10\alpha$ и $b = 1$:
$(\cos 10\alpha - 1)(\cos 10\alpha + 1) = (\cos 10\alpha)^2 - 1^2 = \cos^2 10\alpha - 1$.
Из основного тригонометрического тождества $\cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta$:
$\cos^2 10\alpha - 1 = -\sin^2 10\alpha$.
Ответ: $-\sin^2 10\alpha$.

4) Вынесем общий множитель 3 за скобки и приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$3 - \frac{3}{\cos^2 5\alpha} = 3\left(1 - \frac{1}{\cos^2 5\alpha}\right) = 3\left(\frac{\cos^2 5\alpha - 1}{\cos^2 5\alpha}\right)$.
Используя тождество $\cos^2\theta - 1 = -\sin^2\theta$ и определение тангенса $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$:
$3\left(\frac{-\sin^2 5\alpha}{\cos^2 5\alpha}\right) = -3\tan^2 5\alpha$.
Ответ: $-3\tan^2 5\alpha$.

5) Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ к первой части выражения, где $\theta = 3\beta$:
$\sin^2 3\beta + \cos^2 3\beta - \frac{1}{\cos^2 4\alpha} = 1 - \frac{1}{\cos^2 4\alpha}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\cos^2 4\alpha - 1}{\cos^2 4\alpha} = \frac{-\sin^2 4\alpha}{\cos^2 4\alpha} = -\tan^2 4\alpha$.
Ответ: $-\tan^2 4\alpha$.

6) Используем тождество $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$:
$\tan 3\alpha \cdot \cot 3\alpha + \tan^2\frac{\alpha}{4} = 1 + \tan^2\frac{\alpha}{4}$.
Применим тождество $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$:
$1 + \tan^2\frac{\alpha}{4} = \frac{1}{\cos^2\frac{\alpha}{4}}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2\frac{\alpha}{4}}$.

7) Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $\tan 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \cos 2\alpha = \sin 2\alpha$.
Знаменатель: используем тождество $1 + \cot^2\theta = \frac{1}{\sin^2\theta}$, получаем $1 + \cot^2 2\alpha = \frac{1}{\sin^2 2\alpha}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\sin 2\alpha}{\frac{1}{\sin^2 2\alpha}} = \sin 2\alpha \cdot \sin^2 2\alpha = \sin^3 2\alpha$.
Ответ: $\sin^3 2\alpha$.

8) Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:
$\tan\frac{x}{4} + \cot\frac{x}{4} = \frac{\sin\frac{x}{4}}{\cos\frac{x}{4}} + \frac{\cos\frac{x}{4}}{\sin\frac{x}{4}} = \frac{\sin^2\frac{x}{4} + \cos^2\frac{x}{4}}{\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}} = \frac{1}{\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}}$.
Теперь умножим на $\sin^2\frac{x}{4}$:
$\sin^2\frac{x}{4} \cdot \left(\frac{1}{\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}}\right) = \frac{\sin^2\frac{x}{4}}{\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}} = \frac{\sin\frac{x}{4}}{\cos\frac{x}{4}} = \tan\frac{x}{4}$.
Ответ: $\tan\frac{x}{4}$.

9) Раскроем квадраты, используя формулы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$(\sin 4\alpha - \cos 4\alpha)^2 + (\sin 4\alpha + \cos 4\alpha)^2 = $
$(\sin^2 4\alpha - 2\sin 4\alpha\cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha) + (\sin^2 4\alpha + 2\sin 4\alpha\cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha)$.
Сократим подобные члены:
$\sin^2 4\alpha + \cos^2 4\alpha + \sin^2 4\alpha + \cos^2 4\alpha = 1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.

10) Упростим выражение в числителе. Из тождества $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ следует, что $\sin^2 3\alpha - 1 = -\cos^2 3\alpha$.
Подставим это в числитель: $1 + \tan^2 3\alpha (-\cos^2 3\alpha)$.
Заменим $\tan^2 3\alpha$ на $\frac{\sin^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha}$:
$1 + \frac{\sin^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha}(-\cos^2 3\alpha) = 1 - \sin^2 3\alpha = \cos^2 3\alpha$.
Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:
$\frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 3\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

181. Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $\sin \alpha = -\frac{2}{3}$ и $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$;

2) $\operatorname{ctg} \alpha = 4$ и $\operatorname{tg} \alpha = -0,25$;

3) $\cos \alpha = -\frac{1}{7}$ и $\operatorname{tg} \alpha = -4\sqrt{3}$?

1) Чтобы проверить, могут ли равенства $\sin\alpha = -\frac{2}{3}$ и $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ выполняться одновременно, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Подставим данные значения в левую часть тождества:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Поскольку левая часть равна правой ($1 = 1$), тождество выполняется. Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно. Угол $\alpha$ с такими значениями синуса и косинуса находится в III координатной четверти.

Ответ: да, могут.

2) Чтобы проверить, могут ли равенства $\text{ctg}\alpha = 4$ и $\text{tg}\alpha = -0,25$ выполняться одновременно, воспользуемся тождеством, связывающим тангенс и котангенс: $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.

Подставим данные значения в левую часть тождества:

$\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = (-0,25) \cdot 4 = -1$.

Полученный результат ($-1$) не равен $1$, как того требует тождество. Следовательно, данные равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: нет, не могут.

3) Чтобы проверить, могут ли равенства $\cos\alpha = -\frac{1}{7}$ и $\text{tg}\alpha = -4\sqrt{3}$ выполняться одновременно, воспользуемся тождеством, связывающим косинус и тангенс: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Вычислим значение левой части равенства:

$1 + \text{tg}^2\alpha = 1 + (-4\sqrt{3})^2 = 1 + (16 \cdot 3) = 1 + 48 = 49$.

Теперь вычислим значение правой части равенства:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\left(-\frac{1}{7}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{49}} = 49$.

Поскольку левая и правая части равенства равны ($49 = 49$), тождество выполняется. Также необходимо проверить соответствие знаков. Если косинус отрицателен ($\cos\alpha < 0$), а тангенс отрицателен ($\text{tg}\alpha < 0$), то угол $\alpha$ находится во II координатной четверти, что является возможным. Таким образом, данные равенства могут выполняться одновременно.

Ответ: да, могут.

182. Вычислите значения тригонометрических функций угла α, если:

1) $sin\alpha = -\frac{2}{7}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2};$

2) $ctg\alpha = -\sqrt{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi.$

1) Дано: $sin\alpha = -\frac{2}{7}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в III четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

Сначала найдем значение $cos\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

$cos^2\alpha = 1 - (-\frac{2}{7})^2 = 1 - \frac{4}{49} = \frac{49-4}{49} = \frac{45}{49}$

Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, значение косинуса отрицательное. Следовательно,

$cos\alpha = -\sqrt{\frac{45}{49}} = -\frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{\sqrt{49}} = -\frac{3\sqrt{5}}{7}$.

Теперь найдем $tg\alpha$ и $ctg\alpha$.

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{-2/7}{-3\sqrt{5}/7} = \frac{2}{3\sqrt{5}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$tg\alpha = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15}$.

Котангенс - это величина, обратная тангенсу:

$ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{5}/15} = \frac{15}{2\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$ctg\alpha = \frac{15 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{15\sqrt{5}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $cos\alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7}$, $tg\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{15}$, $ctg\alpha = \frac{3\sqrt{5}}{2}$.

2) Дано: $ctg\alpha = -\sqrt{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.

Сначала найдем $tg\alpha$ как величину, обратную $ctg\alpha$.

$tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha} = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем $sin\alpha$ и $cos\alpha$, используя тождество $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.

$\frac{1}{sin^2\alpha} = 1 + (-\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$sin^2\alpha = \frac{1}{3}$.

Так как угол $\alpha$ находится в IV четверти, значение синуса отрицательное. Следовательно,

$sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения $cos\alpha$ воспользуемся определением котангенса $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$, откуда $cos\alpha = ctg\alpha \cdot sin\alpha$.

$cos\alpha = (-\sqrt{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Значение косинуса положительное, что соответствует IV четверти.

Ответ: $sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $cos\alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $tg\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

183. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin^3 8\alpha - \cos^3 (-8\alpha)}{1 - \cos 8\alpha \sin(-8\alpha)} = \sin 8\alpha - \cos 8\alpha$

2) $\sin^4 (-6x) - \cos^4 6x + 2\cos^2 6x = 1$

3) $\frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{1 - \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{2}{\cos \beta}$

4) $\cos^4 5\gamma + \sin^4 5\gamma - \cos^6 5\gamma - \sin^6 5\gamma = \cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma$

5) $\frac{1 - (\cos \alpha - \sin \alpha)^2}{\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} = 2\operatorname{ctg}^2 \alpha$

6) $\frac{1 - \sqrt{17} \cos \alpha}{\sqrt{17} \sin \alpha - 4} = \frac{\sqrt{17} \sin \alpha + 4}{1 + \sqrt{17} \cos \alpha}$

7) $\frac{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \beta} = -\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \beta$

1)

Преобразуем левую часть тождества, используя свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos x$ и $\sin(-x) = -\sin x$.

$\frac{\sin^3 8\alpha - \cos^3(-8\alpha)}{1 - \cos 8\alpha \sin(-8\alpha)} = \frac{\sin^3 8\alpha - \cos^3 8\alpha}{1 - \cos 8\alpha (-\sin 8\alpha)} = \frac{\sin^3 8\alpha - \cos^3 8\alpha}{1 + \cos 8\alpha \sin 8\alpha}$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к числителю:

$\sin^3 8\alpha - \cos^3 8\alpha = (\sin 8\alpha - \cos 8\alpha)(\sin^2 8\alpha + \sin 8\alpha \cos 8\alpha + \cos^2 8\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим выражение в скобках:

$\sin^2 8\alpha + \cos^2 8\alpha + \sin 8\alpha \cos 8\alpha = 1 + \sin 8\alpha \cos 8\alpha$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(\sin 8\alpha - \cos 8\alpha)(1 + \sin 8\alpha \cos 8\alpha)}{1 + \sin 8\alpha \cos 8\alpha}$

Сократим дробь на $(1 + \sin 8\alpha \cos 8\alpha)$:

$\sin 8\alpha - \cos 8\alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Так как синус — нечетная функция, $(-\sin x)^4 = \sin^4 x$, то $\sin^4(-6x) = \sin^4 6x$.

Выражение принимает вид:

$\sin^4 6x - \cos^4 6x + 2\cos^2 6x$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к первым двум слагаемым:

$\sin^4 6x - \cos^4 6x = (\sin^2 6x - \cos^2 6x)(\sin^2 6x + \cos^2 6x)$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 6x + \cos^2 6x = 1$.

Тогда выражение становится:

$(\sin^2 6x - \cos^2 6x) \cdot 1 + 2\cos^2 6x = \sin^2 6x - \cos^2 6x + 2\cos^2 6x$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin^2 6x + \cos^2 6x$

Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$\sin^2 6x + \cos^2 6x = 1$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(1 - \sin \beta)\cos \beta$:

$\frac{\cos \beta}{1 - \sin \beta} + \frac{1 - \sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos \beta \cdot \cos \beta + (1 - \sin \beta)(1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{\cos^2 \beta + (1 - \sin \beta)^2}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(1 - \sin \beta)^2 = 1 - 2\sin \beta + \sin^2 \beta$.

$\frac{\cos^2 \beta + 1 - 2\sin \beta + \sin^2 \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Сгруппируем слагаемые в числителе и применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$:

$\frac{(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 1 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{1 + 1 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{2 - 2\sin \beta}{(1 - \sin \beta)\cos \beta}$

Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь:

$\frac{2(1 - \sin \beta)}{(1 - \sin \beta)\cos \beta} = \frac{2}{\cos \beta}$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$(\cos^4 5\gamma - \cos^6 5\gamma) + (\sin^4 5\gamma - \sin^6 5\gamma)$

Вынесем общие множители за скобки:

$\cos^4 5\gamma (1 - \cos^2 5\gamma) + \sin^4 5\gamma (1 - \sin^2 5\gamma)$

Используя основное тригонометрическое тождество, заменим выражения в скобках: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ и $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$.

$\cos^4 5\gamma \cdot \sin^2 5\gamma + \sin^4 5\gamma \cdot \cos^2 5\gamma$

Вынесем за скобки общий множитель $\cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma$:

$\cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma (\cos^2 5\gamma + \sin^2 5\gamma)$

Выражение в скобках равно 1, поэтому получаем:

$\cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma \cdot 1 = \cos^2 5\gamma \sin^2 5\gamma$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5)

Преобразуем числитель дроби в левой части. Раскроем квадрат разности:

$1 - (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 1 - (\cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha)$

Так как $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, получаем:

$1 - (1 - 2\sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

Теперь преобразуем знаменатель, заменив $\text{tg}\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\text{tg}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha (\frac{1}{\cos \alpha} - \cos \alpha)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\sin \alpha (\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos \alpha}) = \sin \alpha (\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}) = \frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin^3 \alpha} = \frac{2\sin \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^3 \alpha} = \frac{2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Используя определение котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, получаем:

$2 \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = 2\text{ctg}^2 \alpha$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6)

Данное тождество является пропорцией $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, которая верна, если верно равенство $ad = bc$. Проверим это свойство для нашего случая.

$(1 - \sqrt{17}\cos \alpha)(1 + \sqrt{17}\cos \alpha) = (\sqrt{17}\sin \alpha - 4)(\sqrt{17}\sin \alpha + 4)$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к обеим частям равенства.

Левая часть:

$1^2 - (\sqrt{17}\cos \alpha)^2 = 1 - 17\cos^2 \alpha$

Правая часть:

$(\sqrt{17}\sin \alpha)^2 - 4^2 = 17\sin^2 \alpha - 16$

Теперь нужно доказать, что $1 - 17\cos^2 \alpha = 17\sin^2 \alpha - 16$. Преобразуем правую часть, используя тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:

$17(1 - \cos^2 \alpha) - 16 = 17 - 17\cos^2 \alpha - 16 = 1 - 17\cos^2 \alpha$

Получили выражение, равное левой части. Так как равенство $ad=bc$ верно, то и исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

7)

Преобразуем левую часть, выразив котангенсы через тангенсы: $\text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x}$.

$\frac{\text{tg} \alpha - \text{ctg} \beta}{\text{ctg} \alpha - \text{tg} \beta} = \frac{\text{tg} \alpha - \frac{1}{\text{tg} \beta}}{\frac{1}{\text{tg} \alpha} - \text{tg} \beta}$

Приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель большой дроби:

Числитель: $\text{tg} \alpha - \frac{1}{\text{tg} \beta} = \frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta - 1}{\text{tg} \beta}$

Знаменатель: $\frac{1}{\text{tg} \alpha} - \text{tg} \beta = \frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{\text{tg} \alpha}$

Подставим обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta - 1}{\text{tg} \beta}}{\frac{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}{\text{tg} \alpha}} = \frac{\text{tg} \alpha \text{tg} \beta - 1}{\text{tg} \beta} \cdot \frac{\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}$

Заметим, что $\text{tg} \alpha \text{tg} \beta - 1 = -(1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)$.

$\frac{-(1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)}{\text{tg} \beta} \cdot \frac{\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta}$

Сократим на $(1 - \text{tg} \alpha \text{tg} \beta)$:

$\frac{-\text{tg} \alpha}{\text{tg} \beta} = -\text{tg} \alpha \cdot \frac{1}{\text{tg} \beta} = -\text{tg} \alpha \text{ctg} \beta$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.