Страница 30 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Какие из указанных точек принадлежат графику функции: 1) $y = \sin x$; 2) $y = \cos x$:

1) $A\left(-\frac{5\pi}{2}; 0\right)$;

2) $B\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

3) $C\left(\frac{9\pi}{2}; 1\right)$;

4) $D\left(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{1}{2}\right)$;

5) $E\left(\frac{17\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0, y_0)$ графику функции $y = f(x)$, необходимо подставить значение абсциссы $x_0$ в уравнение функции и проверить, совпадает ли полученное значение $f(x_0)$ с ординатой точки $y_0$. Если равенство $y_0 = f(x_0)$ выполняется, то точка принадлежит графику.

1) y = sin x

Проверим принадлежность каждой из указанных точек графику функции $y = \sin x$.

1) Для точки $A(-\frac{5\pi}{2}; 0)$.
Подставляем $x = -\frac{5\pi}{2}$ в функцию: $y = \sin(-\frac{5\pi}{2})$.
Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-a) = -\sin(a)$) и его периодичность (период $2\pi$), получаем:
$\sin(-\frac{5\pi}{2}) = -\sin(\frac{5\pi}{2}) = -\sin(\frac{4\pi + \pi}{2}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Поскольку вычисленное значение $y = -1$ не равно ординате точки $A$, равной $0$, точка $A$ не принадлежит графику функции $y = \sin x$.

2) Для точки $B(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию: $y = \sin(\frac{2\pi}{3})$.
Используя формулу приведения $\sin(\pi - a) = \sin(a)$, получаем:
$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисленное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ совпадает с ординатой точки $B$. Следовательно, точка $B$ принадлежит графику функции $y = \sin x$.

3) Для точки $C(\frac{9\pi}{2}; 1)$.
Подставляем $x = \frac{9\pi}{2}$ в функцию: $y = \sin(\frac{9\pi}{2})$.
Учитывая периодичность синуса:
$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(\frac{8\pi + \pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Вычисленное значение $y = 1$ совпадает с ординатой точки $C$. Следовательно, точка $C$ принадлежит графику функции $y = \sin x$.

4) Для точки $D(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{1}{2})$.
Подставляем $x = -\frac{4\pi}{3}$ в функцию: $y = \sin(-\frac{4\pi}{3})$.
$\sin(-\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Поскольку $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq -\frac{1}{2}$, точка $D$ не принадлежит графику функции $y = \sin x$.

5) Для точки $E(\frac{17\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Подставляем $x = \frac{17\pi}{4}$ в функцию: $y = \sin(\frac{17\pi}{4})$.
$\sin(\frac{17\pi}{4}) = \sin(\frac{16\pi + \pi}{4}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисленное значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ совпадает с ординатой точки $E$. Следовательно, точка $E$ принадлежит графику функции $y = \sin x$.

Ответ: Графику функции $y = \sin x$ принадлежат точки B, C, E.

2) y = cos x

Проверим принадлежность каждой из указанных точек графику функции $y = \cos x$.

1) Для точки $A(-\frac{5\pi}{2}; 0)$.
Подставляем $x = -\frac{5\pi}{2}$ в функцию: $y = \cos(-\frac{5\pi}{2})$.
Используя свойство четности косинуса ($\cos(-a) = \cos(a)$) и его периодичность, получаем:
$\cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Вычисленное значение $y = 0$ совпадает с ординатой точки $A$. Следовательно, точка $A$ принадлежит графику функции $y = \cos x$.

2) Для точки $B(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию: $y = \cos(\frac{2\pi}{3})$.
Используя формулу приведения $\cos(\pi - a) = -\cos(a)$, получаем:
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Поскольку $-\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, точка $B$ не принадлежит графику функции $y = \cos x$.

3) Для точки $C(\frac{9\pi}{2}; 1)$.
Подставляем $x = \frac{9\pi}{2}$ в функцию: $y = \cos(\frac{9\pi}{2})$.
$\cos(\frac{9\pi}{2}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Поскольку $0 \neq 1$, точка $C$ не принадлежит графику функции $y = \cos x$.

4) Для точки $D(-\frac{4\pi}{3}; -\frac{1}{2})$.
Подставляем $x = -\frac{4\pi}{3}$ в функцию: $y = \cos(-\frac{4\pi}{3})$.
$\cos(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Вычисленное значение $y = -\frac{1}{2}$ совпадает с ординатой точки $D$. Следовательно, точка $D$ принадлежит графику функции $y = \cos x$.

5) Для точки $E(\frac{17\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Подставляем $x = \frac{17\pi}{4}$ в функцию: $y = \cos(\frac{17\pi}{4})$.
$\cos(\frac{17\pi}{4}) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисленное значение $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ совпадает с ординатой точки $E$. Следовательно, точка $E$ принадлежит графику функции $y = \cos x$.

Ответ: Графику функции $y = \cos x$ принадлежат точки A, D, E.

167. На промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$ укажите:

1) нули функции $y = \sin x$;

2) значения аргумента, при которых функция $y = \sin x$ принимает наибольшее и наименьшее значения.

1) нули функции y = sin x;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей функции $y = \sin x$ необходимо решить уравнение $\sin x = 0$.
Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь нам нужно выбрать те значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$. Для этого решим двойное неравенство:
$\frac{\pi}{4} \le k\pi \le \frac{9\pi}{4}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$\frac{1}{4} \le k \le \frac{9}{4}$
Или в десятичном виде:
$0,25 \le k \le 2,25$
Целыми числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются $k=1$ и $k=2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $k=1$: $x = 1 \cdot \pi = \pi$.
При $k=2$: $x = 2 \cdot \pi = 2\pi$.
Оба значения принадлежат заданному промежутку $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$.
Ответ: $\pi; 2\pi$.

2) значения аргумента, при которых функция y = sin x принимает наибольшее и наименьшее значения.

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее — -1.

Наибольшее значение:
Функция $y = \sin x$ принимает наибольшее значение, равное 1, в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем, какие из этих точек попадают в промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$:
$\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le \frac{9\pi}{4}$
$\frac{1}{4} \le \frac{1}{2} + 2k \le \frac{9}{4}$
$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{9}{4} - \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{4} \le 2k \le \frac{7}{4}$
$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{7}{8}$
Единственное целое число в этом интервале — $k=0$.
При $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$.
Так как $\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} \le \frac{9\pi}{4}$, то в точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция принимает наибольшее значение на данном промежутке.

Наименьшее значение:
Функция $y = \sin x$ принимает наименьшее значение, равное -1, в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем, какие из этих точек попадают в промежуток $[\frac{\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}]$:
$\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \le \frac{9\pi}{4}$
$\frac{1}{4} \le \frac{3}{2} + 2k \le \frac{9}{4}$
$\frac{1}{4} - \frac{3}{2} \le 2k \le \frac{9}{4} - \frac{3}{2}$
$-\frac{5}{4} \le 2k \le \frac{3}{4}$
$-\frac{5}{8} \le k \le \frac{3}{8}$
Единственное целое число в этом интервале — $k=0$.
При $k=0$ получаем $x = \frac{3\pi}{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2}$.
Так как $\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} \le \frac{9\pi}{4}$, то в точке $x = \frac{3\pi}{2}$ функция принимает наименьшее значение на данном промежутке.
Ответ: наибольшее значение функция принимает при $x = \frac{\pi}{2}$, наименьшее — при $x = \frac{3\pi}{2}$.

168. Сравните:

1) $ \sin \frac{10\pi}{9} $ и $ \sin \frac{8\pi}{7} $;

2) $ \sin (-91^\circ) $ и $ \sin (-93^\circ) $;

3) $ \sin 8 $ и $ \sin 8,5 $;

4) $ \cos \frac{13\pi}{22} $ и $ \cos \frac{12\pi}{23} $;

5) $ \cos 183^\circ $ и $ \cos 185^\circ $;

6) $ \cos (-5) $ и $ \cos (-6) $.

1) Сравнить $ \sin\frac{10\pi}{9} $ и $ \sin\frac{8\pi}{7} $.

Сначала определим, в каких четвертях находятся углы.
Угол $ \frac{10\pi}{9} = \pi + \frac{\pi}{9} $. Так как $ \pi < \pi + \frac{\pi}{9} < \frac{3\pi}{2} $, этот угол находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен.
Угол $ \frac{8\pi}{7} = \pi + \frac{\pi}{7} $. Так как $ \pi < \pi + \frac{\pi}{7} < \frac{3\pi}{2} $, этот угол также находится в третьей четверти. Синус здесь также отрицателен.
Используем формулу приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $:
$ \sin\frac{10\pi}{9} = \sin(\pi + \frac{\pi}{9}) = -\sin\frac{\pi}{9} $
$ \sin\frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7} $
Теперь нам нужно сравнить $ -\sin\frac{\pi}{9} $ и $ -\sin\frac{\pi}{7} $. Это эквивалентно сравнению $ \sin\frac{\pi}{9} $ и $ \sin\frac{\pi}{7} $.
Углы $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{\pi}{7} $ находятся в первой четверти (от 0 до $ \frac{\pi}{2} $). В этой четверти функция синус возрастает.
Сравним углы: так как $ 9 > 7 $, то $ \frac{1}{9} < \frac{1}{7} $, и следовательно $ \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{7} $.
Поскольку синус в первой четверти возрастает, из $ \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{7} $ следует, что $ \sin\frac{\pi}{9} < \sin\frac{\pi}{7} $.
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $ -\sin\frac{\pi}{9} > -\sin\frac{\pi}{7} $.
Следовательно, $ \sin\frac{10\pi}{9} > \sin\frac{8\pi}{7} $.
Ответ: $ \sin\frac{10\pi}{9} > \sin\frac{8\pi}{7} $.

2) Сравнить $ \sin(-91^\circ) $ и $ \sin(-93^\circ) $.

Функция синус является нечетной, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(-91^\circ) = -\sin(91^\circ) $
$ \sin(-93^\circ) = -\sin(93^\circ) $
Сравним $ -\sin(91^\circ) $ и $ -\sin(93^\circ) $. Для этого сначала сравним $ \sin(91^\circ) $ и $ \sin(93^\circ) $.
Оба угла, $ 91^\circ $ и $ 93^\circ $, находятся во второй четверти (от $ 90^\circ $ до $ 180^\circ $).
В этой четверти функция синус убывает.
Так как $ 91^\circ < 93^\circ $, то $ \sin(91^\circ) > \sin(93^\circ) $.
Оба значения синуса во второй четверти положительны. Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$ -\sin(91^\circ) < -\sin(93^\circ) $.
Следовательно, $ \sin(-91^\circ) < \sin(-93^\circ) $.
Ответ: $ \sin(-91^\circ) < \sin(-93^\circ) $.

3) Сравнить $ \sin 8 $ и $ \sin 8,5 $.

Углы 8 и 8,5 даны в радианах. Определим их положение на тригонометрической окружности.
Используем приближенные значения: $ \pi \approx 3,14 $, $ 2\pi \approx 6,28 $, $ \frac{5\pi}{2} \approx 7,85 $, $ 3\pi \approx 9,42 $.
Оба угла, 8 и 8,5, находятся в промежутке $ (\frac{5\pi}{2}, 3\pi) $. Этот промежуток соответствует второй четверти, если учесть периодичность.
Период функции синус равен $ 2\pi $. Мы можем вычесть $ 2\pi $ из аргументов, чтобы привести их к основному промежутку:
$ \sin 8 = \sin(8 - 2\pi) $
$ \sin 8,5 = \sin(8,5 - 2\pi) $
$ 8 - 2\pi \approx 8 - 6,28 = 1,72 $. $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $, $ \pi \approx 3,14 $. Так как $ 1,57 < 1,72 < 3,14 $, угол $ 8 - 2\pi $ находится во второй четверти.
$ 8,5 - 2\pi \approx 8,5 - 6,28 = 2,22 $. Так как $ 1,57 < 2,22 < 3,14 $, угол $ 8,5 - 2\pi $ также находится во второй четверти.
Во второй четверти функция синус убывает.
Сравним аргументы: $ 8 < 8,5 $, значит $ 8 - 2\pi < 8,5 - 2\pi $.
Поскольку синус на этом промежутке убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
$ \sin(8 - 2\pi) > \sin(8,5 - 2\pi) $.
Следовательно, $ \sin 8 > \sin 8,5 $.
Ответ: $ \sin 8 > \sin 8,5 $.

4) Сравнить $ \cos\frac{13\pi}{22} $ и $ \cos\frac{12\pi}{23} $.

Определим четверти, в которых находятся углы.
$ \frac{13\pi}{22} $. Так как $ \frac{13}{22} = 0,59... $, а $ \frac{1}{2} = 0,5 $, то $ \frac{\pi}{2} < \frac{13\pi}{22} < \pi $. Угол находится во второй четверти.
$ \frac{12\pi}{23} $. Так как $ \frac{12}{23} = 0,52... $, то $ \frac{\pi}{2} < \frac{12\pi}{23} < \pi $. Угол также находится во второй четверти.
Во второй четверти функция косинус убывает.
Сравним величины углов:
$ \frac{13}{22} $ и $ \frac{12}{23} $. Приведем к общему знаменателю: $ \frac{13 \cdot 23}{22 \cdot 23} $ и $ \frac{12 \cdot 22}{23 \cdot 22} $.
$ 13 \cdot 23 = 299 $.
$ 12 \cdot 22 = 264 $.
Так как $ 299 > 264 $, то $ \frac{13}{22} > \frac{12}{23} $, и следовательно $ \frac{13\pi}{22} > \frac{12\pi}{23} $.
Поскольку косинус во второй четверти убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
$ \cos\frac{13\pi}{22} < \cos\frac{12\pi}{23} $.
Ответ: $ \cos\frac{13\pi}{22} < \cos\frac{12\pi}{23} $.

5) Сравнить $ \cos 183^\circ $ и $ \cos 185^\circ $.

Оба угла, $ 183^\circ $ и $ 185^\circ $, находятся в третьей четверти (от $ 180^\circ $ до $ 270^\circ $).
В третьей четверти функция косинус возрастает (значения меняются от -1 при $ 180^\circ $ до 0 при $ 270^\circ $).
Сравниваем аргументы: $ 183^\circ < 185^\circ $.
Так как косинус на этом промежутке возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
$ \cos 183^\circ < \cos 185^\circ $.
Ответ: $ \cos 183^\circ < \cos 185^\circ $.

6) Сравнить $ \cos(-5) $ и $ \cos(-6) $.

Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $.
Поэтому сравнение $ \cos(-5) $ и $ \cos(-6) $ эквивалентно сравнению $ \cos 5 $ и $ \cos 6 $.
Углы 5 и 6 даны в радианах. Определим их положение.
Используем приближенные значения: $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $, $ 2\pi \approx 6,28 $.
Оба угла, 5 и 6, находятся в промежутке $ (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) $, то есть в четвертой четверти.
В четвертой четверти функция косинус возрастает (значения меняются от 0 при $ \frac{3\pi}{2} $ до 1 при $ 2\pi $).
Сравниваем аргументы: $ 5 < 6 $.
Так как косинус на этом промежутке возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
$ \cos 5 < \cos 6 $.
Следовательно, $ \cos(-5) < \cos(-6) $.
Ответ: $ \cos(-5) < \cos(-6) $.

169. Определите знак разности:

1) $ \sin 29^\circ - \cos 29^\circ $;

2) $ \cos 41^\circ - \sin 42^\circ $;

3) $ \sin 63^\circ - \cos 33^\circ $.

1) sin 29° − cos 29°

Чтобы определить знак разности, необходимо сравнить значения $sin 29°$ и $cos 29°$. Рассмотрим свойства тригонометрических функций в первой четверти (от $0°$ до $90°$). В этом интервале функция $y = sin x$ возрастает, а функция $y = cos x$ убывает. Значения синуса и косинуса равны при угле в $45°$, то есть $sin 45° = cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Для углов $\alpha$, находящихся в интервале $0° < \alpha < 45°$, значение косинуса больше значения синуса: $cos \alpha > sin \alpha$. Поскольку угол $29°$ меньше $45°$, то $sin 29° < cos 29°$. Следовательно, разность $sin 29° - cos 29°$ будет отрицательной.

Ответ: знак минус (–).

2) cos 41° − sin 42°

Для сравнения значений приведем их к одной тригонометрической функции, используя формулы приведения. Например, воспользуемся формулой $cos \alpha = sin(90° - \alpha)$. Применим ее к $cos 41°$: $cos 41° = sin(90° - 41°) = sin 49°$. Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $sin 49° - sin 42°$. Функция $y = sin x$ в первой четверти (от $0°$ до $90°$) является возрастающей. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса. Поскольку $49° > 42°$, то $sin 49° > sin 42°$. Следовательно, разность $sin 49° - sin 42°$ положительна, а значит, и исходная разность $cos 41° - sin 42°$ положительна.

Ответ: знак плюс (+).

3) sin 63° − cos 33°

Приведем оба члена разности к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой приведения $cos \alpha = sin(90° - \alpha)$. Применим ее к $cos 33°$: $cos 33° = sin(90° - 33°) = sin 57°$. Подставим это значение в исходное выражение: $sin 63° - sin 57°$. Как известно, функция $y = sin x$ возрастает на интервале от $0°$ до $90°$. Поскольку $63° > 57°$, то и значение синуса для большего угла будет больше: $sin 63° > sin 57°$. Таким образом, разность $sin 63° - sin 57°$ является положительной.

Ответ: знак плюс (+).

170. Возможно ли равенство:

1) $ \sin \alpha = \sqrt{2} \sin 44^\circ; $

2) $ \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 61^\circ? $

1) $sin\alpha = \sqrt{2}sin 44^\circ$

Для того чтобы данное равенство было возможным, значение выражения в правой части должно находиться в пределах от -1 до 1 включительно, так как область значений функции синус $E(y=sin\alpha) = [-1; 1]$.

Оценим значение выражения $\sqrt{2}sin 44^\circ$.

На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синус является возрастающей. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса.

Сравним угол $44^\circ$ с известным углом $45^\circ$:

$44^\circ < 45^\circ$

Следовательно, для их синусов выполняется неравенство:

$sin 44^\circ < sin 45^\circ$

Мы знаем, что $sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в неравенство:

$sin 44^\circ < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$ (поскольку $\sqrt{2} > 0$, знак неравенства не изменится):

$\sqrt{2}sin 44^\circ < \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}sin 44^\circ < \frac{2}{2}$

$\sqrt{2}sin 44^\circ < 1$

Так как угол $44^\circ$ находится в первой четверти, его синус положителен ($sin 44^\circ > 0$), значит и все выражение $\sqrt{2}sin 44^\circ > 0$.

Таким образом, мы получили, что $0 < \sqrt{2}sin 44^\circ < 1$. Это значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого равенство будет верным.

Ответ: да, возможно.

2) $cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}sin 61^\circ$

Для того чтобы данное равенство было возможным, значение выражения в правой части должно находиться в пределах от -1 до 1 включительно, так как область значений функции косинус $E(y=cos\alpha) = [-1; 1]$.

Оценим значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}}sin 61^\circ$.

На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синус является возрастающей.

Сравним угол $61^\circ$ с известным углом $60^\circ$:

$61^\circ > 60^\circ$

Следовательно, для их синусов выполняется неравенство:

$sin 61^\circ > sin 60^\circ$

Мы знаем, что $sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в неравенство:

$sin 61^\circ > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (поскольку $\frac{2}{\sqrt{3}} > 0$, знак неравенства не изменится):

$\frac{2}{\sqrt{3}}sin 61^\circ > \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{2}{\sqrt{3}}sin 61^\circ > 1$

Полученное значение больше 1. Поскольку максимальное значение косинуса любого угла равно 1, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.

171. Постройте график функции:

1) $y = \sin x - 2$;

2) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = -\sin 3x$;

4) $y = \frac{1}{2}\sin x$;

5) $y = \frac{1}{2}\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 2$.

Для построения графиков данных функций используются геометрические преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

Для построения графика функции $y = \sin x - 2$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin x$. В данном случае это параллельный перенос вдоль оси ординат ($Oy$).

Порядок построения:

1. Построим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, которая проходит через начало координат, имеет период $T=2\pi$, амплитуду $A=1$ и область значений $[-1, 1]$.
2. Выполним параллельный перенос построенного графика на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \sin x$ переместится в точку $(x, y-2)$.

Таким образом, синусоида будет колебаться не относительно оси абсцисс ($y=0$), а относительно прямой $y=-2$. Максимальное значение функции будет $1-2=-1$, а минимальное $-1-2=-3$. Область значений функции: $[-3, -1]$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 2$ получается из графика $y = \sin x$ путем его сдвига на 2 единицы вниз по оси $Oy$.

Для построения графика функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ выполним преобразование графика базовой функции $y = \sin x$. В данном случае это параллельный перенос вдоль оси абсцисс ($Ox$), который также называют фазовым сдвигом.

Порядок построения:

1. Построим график функции $y = \sin x$ (стандартная синусоида).
2. Выполним параллельный перенос построенного графика на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси $Ox$. Каждая точка $(x, y)$ графика $y = \sin x$ переместится в точку $(x+\frac{\pi}{4}, y)$.

Например, точка начала координат $(0, 0)$ переместится в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$. Максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ сместится в точку $(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}, 1) = (\frac{3\pi}{4}, 1)$. Амплитуда, период и область значений функции остаются без изменений ($A=1$, $T=2\pi$, $E(y)=[-1, 1]$).

Ответ: График функции $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y = \sin x$ путем его сдвига на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси $Ox$.

Для построения графика функции $y = -\sin 3x$ необходимо выполнить последовательно два преобразования графика базовой функции $y = \sin x$: сжатие по горизонтали и симметричное отражение относительно оси абсцисс.

Порядок построения:

1. Построим график функции $y = \sin x$.
2. Преобразуем его в график $y = \sin 3x$. Это преобразование является сжатием графика к оси $Oy$ в 3 раза. Период функции уменьшится в 3 раза и станет равен $T = \frac{2\pi}{3}$. Все абсциссы характерных точек графика $y=\sin x$ нужно разделить на 3. Например, максимум из точки $(\frac{\pi}{2}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{6}, 1)$.
3. Преобразуем график $y = \sin 3x$ в $y = -\sin 3x$. Это преобразование является симметричным отражением графика относительно оси абсцисс ($Ox$). Все положительные значения функции станут отрицательными, и наоборот. Точка $(\frac{\pi}{6}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{6}, -1)$.

Итоговый график будет иметь амплитуду $A=|-1|=1$ и период $T=\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y = -\sin 3x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 3 раза с последующим симметричным отражением относительно оси $Ox$.

Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin x$. В данном случае это сжатие вдоль оси ординат ($Oy$).

Порядок построения:

1. Построим график функции $y = \sin x$.
2. Выполним сжатие этого графика к оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. Это означает, что ординату каждой точки графика нужно умножить на $\frac{1}{2}$.

В результате этого преобразования амплитуда функции уменьшится в 2 раза и станет равной $A = \frac{1}{2}$. Максимальное значение функции будет $\frac{1}{2}$, а минимальное $-\frac{1}{2}$. Область значений функции: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Период функции не изменится ($T=2\pi$).

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия к оси $Ox$ в 2 раза (или с коэффициентом $\frac{1}{2}$).

Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 2$ необходимо выполнить последовательно три преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

Порядок построения:

1. Построим график базовой функции $y = \sin x$.
2. Выполним сжатие графика к оси $Ox$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, чтобы получить график $y = \frac{1}{2}\sin x$. Амплитуда станет равной $\frac{1}{2}$, а область значений $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
3. Сдвинем полученный график вправо по оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$, чтобы получить график $y = \frac{1}{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
4. Сдвинем последний график вниз по оси $Oy$ на 2 единицы, чтобы получить итоговый график $y = \frac{1}{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 2$.

В результате всех преобразований мы получим синусоиду со следующими параметрами:

• Амплитуда: $A = \frac{1}{2}$.
• Период: $T=2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{4}$ вправо.
• Вертикальный сдвиг: 2 вниз.
• Средняя линия: $y=-2$.
• Область значений: $[-2 - \frac{1}{2}, -2 + \frac{1}{2}] = [-2.5, -1.5]$.

Ответ: График данной функции получается из графика $y = \sin x$ последовательным применением: сжатия к оси $Ox$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$ и сдвига вниз на 2.

172. Постройте график функции:

1) $y = \cos x + 1,5$;

2) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \cos \frac{x}{3}$;

4) $y = -\frac{1}{2} \cos x$;

5) $y = -\frac{1}{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1,5$.

Для построения графиков заданных функций мы будем использовать преобразования базового графика функции $y = \cos x$.

1) $y = \cos x + 1.5$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 1,5 единицы вверх.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$ (стандартную косинусоиду).
2. Сдвигаем каждую точку построенного графика на 1,5 единицы вверх по оси $Oy$.

Свойства функции:

• Область значений: Исходная область значений для $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. После сдвига на 1,5 вверх, область значений становится $[-1+1.5, 1+1.5]$, то есть $[0.5, 2.5]$.
• Период функции не изменяется и равен $2\pi$.
• Амплитуда не изменяется и равна 1.

Ключевые точки:

• Максимум: $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(0, 1+1.5) = (0, 2.5)$.
• Пересечение со средней линией: $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}, 0+1.5) = (\frac{\pi}{2}, 1.5)$.
• Минимум: $(\pi, -1)$ переходит в $(\pi, -1+1.5) = (\pi, 0.5)$.

Ответ: График функции $y = \cos x + 1.5$ — это косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1, сдвинутая на 1,5 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Колебания происходят в диапазоне $[0.5, 2.5]$.

2) $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. Сдвигаем каждую точку построенного графика на $\frac{\pi}{4}$ единиц влево по оси $Ox$.

Свойства функции:

• Область значений: $[-1, 1]$.
• Период: $2\pi$.
• Амплитуда: 1.
• Фазовый сдвиг: $-\frac{\pi}{4}$.

Ключевые точки:

• Максимум: $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$ переходит в точку $(0-\frac{\pi}{4}, 1) = (-\frac{\pi}{4}, 1)$.
• Пересечение с осью $Ox$: $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Минимум: $(\pi, -1)$ переходит в $(\pi-\frac{\pi}{4}, -1) = (\frac{3\pi}{4}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$ — это косинусоида, сдвинутая на $\frac{\pi}{4}$ влево вдоль оси $Ox$.

3) $y = \cos\frac{x}{3}$

График этой функции получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения вдоль оси $Ox$ в 3 раза.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. "Растягиваем" этот график от оси $Oy$ в 3 раза. Это означает, что абсцисса каждой точки графика умножается на 3, а ордината остается неизменной.

Свойства функции:

• Область значений: $[-1, 1]$.
• Период: Исходный период $2\pi$ умножается на 3, новый период $T = 3 \cdot 2\pi = 6\pi$.
• Амплитуда: 1.

Ключевые точки одного периода:

• Максимум: $(0, 1)$ остается на месте.
• Пересечение с осью $Ox$: $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в $(\frac{3\pi}{2}, 0)$.
• Минимум: $(\pi, -1)$ переходит в $(3\pi, -1)$.
• Следующий максимум: $(2\pi, 1)$ переходит в $(6\pi, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos\frac{x}{3}$ — это косинусоида, растянутая в 3 раза вдоль оси $Ox$. Период функции равен $6\pi$.

4) $y = -\frac{1}{2}\cos x$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим зеркальным отражением относительно оси $Ox$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. Сжимаем график к оси $Ox$ в 2 раза (умножаем ординаты всех точек на $\frac{1}{2}$). Получаем график $y = \frac{1}{2}\cos x$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси $Ox$.

Свойства функции:

• Область значений: Амплитуда равна $\frac{1}{2}$, поэтому область значений $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.
• Период: $2\pi$.
• Амплитуда: $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Ключевые точки:

• Точка $(0, 1)$ на $y=\cos x$ переходит в $(0, -\frac{1}{2})$ (минимум).
• Точки $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ остаются на месте (нули функции).
• Точка $(\pi, -1)$ на $y=\cos x$ переходит в $(\pi, \frac{1}{2})$ (максимум).

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos x$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой $\frac{1}{2}$, отраженная относительно оси $Ox$.

5) $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) + 1.5$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем последовательного применения четырех преобразований:

1. Сдвиг влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$.
2. Сжатие к оси $Ox$ в 2 раза (амплитуда становится $\frac{1}{2}$).
3. Зеркальное отражение относительно оси $Ox$.
4. Сдвиг вверх вдоль оси $Oy$ на 1,5.

Свойства функции:

• Амплитуда: $A = |-\frac{1}{2}| = 0.5$.
• Период: $T = 2\pi$.
• Фазовый сдвиг: $-\frac{\pi}{4}$ (влево).
• Вертикальный сдвиг: $+1.5$ (вверх).
• Область значений: Колебания происходят вокруг прямой $y=1.5$ с амплитудой 0.5. Таким образом, область значений $[1.5 - 0.5, 1.5 + 0.5]$, то есть $[1, 2]$.

Ключевые точки одного периода:

• Минимум: при $x + \frac{\pi}{4} = 0 \implies x = -\frac{\pi}{4}$. $y = -\frac{1}{2}(1) + 1.5 = 1$. Точка $(-\frac{\pi}{4}, 1)$.
• Пересечение со средней линией $y=1.5$: при $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1.5)$.
• Максимум: при $x + \frac{\pi}{4} = \pi \implies x = \frac{3\pi}{4}$. $y = -\frac{1}{2}(-1) + 1.5 = 2$. Точка $(\frac{3\pi}{4}, 2)$.
• Пересечение со средней линией $y=1.5$: при $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{4}$. Точка $(\frac{5\pi}{4}, 1.5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) + 1.5$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой $0.5$, сдвинутая на $\frac{\pi}{4}$ влево и на $1.5$ вверх, а также отраженная относительно своей средней линии $y=1.5$. Область значений функции $[1, 2]$.