Номер 169, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Определите знак разности:

1) $ \sin 29^\circ - \cos 29^\circ $;

2) $ \cos 41^\circ - \sin 42^\circ $;

3) $ \sin 63^\circ - \cos 33^\circ $.

1) sin 29° − cos 29°

Чтобы определить знак разности, необходимо сравнить значения $sin 29°$ и $cos 29°$. Рассмотрим свойства тригонометрических функций в первой четверти (от $0°$ до $90°$). В этом интервале функция $y = sin x$ возрастает, а функция $y = cos x$ убывает. Значения синуса и косинуса равны при угле в $45°$, то есть $sin 45° = cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Для углов $\alpha$, находящихся в интервале $0° < \alpha < 45°$, значение косинуса больше значения синуса: $cos \alpha > sin \alpha$. Поскольку угол $29°$ меньше $45°$, то $sin 29° < cos 29°$. Следовательно, разность $sin 29° - cos 29°$ будет отрицательной.

Ответ: знак минус (–).

2) cos 41° − sin 42°

Для сравнения значений приведем их к одной тригонометрической функции, используя формулы приведения. Например, воспользуемся формулой $cos \alpha = sin(90° - \alpha)$. Применим ее к $cos 41°$: $cos 41° = sin(90° - 41°) = sin 49°$. Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $sin 49° - sin 42°$. Функция $y = sin x$ в первой четверти (от $0°$ до $90°$) является возрастающей. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса. Поскольку $49° > 42°$, то $sin 49° > sin 42°$. Следовательно, разность $sin 49° - sin 42°$ положительна, а значит, и исходная разность $cos 41° - sin 42°$ положительна.

Ответ: знак плюс (+).

3) sin 63° − cos 33°

Приведем оба члена разности к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой приведения $cos \alpha = sin(90° - \alpha)$. Применим ее к $cos 33°$: $cos 33° = sin(90° - 33°) = sin 57°$. Подставим это значение в исходное выражение: $sin 63° - sin 57°$. Как известно, функция $y = sin x$ возрастает на интервале от $0°$ до $90°$. Поскольку $63° > 57°$, то и значение синуса для большего угла будет больше: $sin 63° > sin 57°$. Таким образом, разность $sin 63° - sin 57°$ является положительной.

Ответ: знак плюс (+).