Номер 176, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Сравните:

1) $ \text{tg } 43^\circ $ и $ \text{ctg } 43^\circ $;

2) $ \text{ctg } 28^\circ $ и $ \text{tg } 59^\circ $;

3) $ \text{tg } 46^\circ $ и $ \text{sin } 91^\circ $.

1) tg 43° и ctg 43°
Чтобы сравнить значения тангенса и котангенса одного и того же угла, можно воспользоваться одним из двух способов.
Способ 1: Сравнение с единицей. Угол $43°$ находится в первой четверти ($0° < 43° < 90°$).
Мы знаем, что $tg \ 45° = 1$. Функция $y=tg \ x$ возрастает в первой четверти. Поскольку $43° < 45°$, то $tg \ 43° < tg \ 45°$, следовательно, $tg \ 43° < 1$.
Мы также знаем, что $ctg \ 45° = 1$. Функция $y=ctg \ x$ убывает в первой четверти. Поскольку $43° < 45°$, то $ctg \ 43° > ctg \ 45°$, следовательно, $ctg \ 43° > 1$.
Так как $tg \ 43° < 1$ и $ctg \ 43° > 1$, то $tg \ 43° < ctg \ 43°$.
Способ 2: Приведение к одной функции. Используем формулу приведения $ctg \ \alpha = tg(90° - \alpha)$.
$ctg \ 43° = tg(90° - 43°) = tg \ 47°$.
Теперь задача сводится к сравнению $tg \ 43°$ и $tg \ 47°$.
Функция $y=tg \ x$ является возрастающей на интервале $(0°; 90°)$.
Поскольку $43° < 47°$, то $tg \ 43° < tg \ 47°$.
Следовательно, $tg \ 43° < ctg \ 43°$.
Ответ: $tg \ 43° < ctg \ 43°$.

2) ctg 28° и tg 59°
Для сравнения этих значений приведем их к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой приведения $ctg \ \alpha = tg(90° - \alpha)$.
Преобразуем $ctg \ 28°$:
$ctg \ 28° = tg(90° - 28°) = tg \ 62°$.
Теперь нам нужно сравнить $tg \ 62°$ и $tg \ 59°$.
Оба угла, $62°$ и $59°$, находятся в первой четверти, где функция тангенса возрастает.
Поскольку $62° > 59°$, то и значения тангенсов этих углов будут находиться в том же соотношении: $tg \ 62° > tg \ 59°$.
Заменяя $tg \ 62°$ обратно на $ctg \ 28°$, получаем:
$ctg \ 28° > tg \ 59°$.
Ответ: $ctg \ 28° > tg \ 59°$.

3) tg 46° и sin 91°
Рассмотрим каждое выражение по отдельности.
1. Оценим значение $tg \ 46°$.
Угол $46°$ находится в первой четверти. Мы знаем, что $tg \ 45° = 1$.
Так как функция $y=tg \ x$ возрастает на интервале $(0°; 90°)$ и $46° > 45°$, то $tg \ 46° > tg \ 45°$.
Следовательно, $tg \ 46° > 1$.
2. Оценим значение $sin \ 91°$.
Угол $91°$ находится во второй четверти. Область значений функции синус – отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство $sin \ \alpha \leq 1$.
Равенство $sin \ \alpha = 1$ достигается только при $\alpha = 90° + 360°k$, где $k$ – целое число.
Поскольку $91° \neq 90°$, то $sin \ 91° < 1$.
3. Сравним полученные результаты.
Мы установили, что $tg \ 46° > 1$ и $sin \ 91° < 1$.
Из этого следует, что $tg \ 46° > sin \ 91°$.
Ответ: $tg \ 46° > sin \ 91°$.