Номер 175, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Сравните:

1) $tg \frac{23\pi}{12}$ и $tg \frac{13\pi}{7}$;

2) $tg (-182^\circ)$ и $tg (-183^\circ)$;

3) $tg 5$ и $tg 6$;

4) $ctg (-\frac{11\pi}{10})$ и $ctg (-\frac{12\pi}{11})$;

5) $ctg 223^\circ$ и $ctg 222^\circ$;

6) $ctg (-1)$ и $ctg (-1,5)$.

1) tg(23π/12) и tg(13π/7)
Для сравнения значений тригонометрических функций приведем их аргументы к одному интервалу, используя периодичность функции тангенса ($T=\pi$).
Преобразуем первый аргумент: $tg\frac{23\pi}{12} = tg(\frac{24\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = tg(2\pi - \frac{\pi}{12}) = tg(-\frac{\pi}{12})$.
Преобразуем второй аргумент: $tg\frac{13\pi}{7} = tg(\frac{14\pi}{7} - \frac{\pi}{7}) = tg(2\pi - \frac{\pi}{7}) = tg(-\frac{\pi}{7})$.
Теперь нужно сравнить $tg(-\frac{\pi}{12})$ и $tg(-\frac{\pi}{7})$.
Функция $y = tg(x)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Оба угла, $-\frac{\pi}{12}$ и $-\frac{\pi}{7}$, принадлежат этому интервалу.
Сравним сами углы: поскольку $\frac{1}{12} < \frac{1}{7}$, то $-\frac{1}{12} > -\frac{1}{7}$.
Так как функция тангенса на этом интервале возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $tg(-\frac{\pi}{12}) > tg(-\frac{\pi}{7})$.
Таким образом, $tg\frac{23\pi}{12} > tg\frac{13\pi}{7}$.
Ответ: $tg\frac{23\pi}{12} > tg\frac{13\pi}{7}$.

2) tg(-182°) и tg(-183°)
Используем периодичность тангенса ($T=180°$):
$tg(-182°) = tg(-182° + 180°) = tg(-2°)$.
$tg(-183°) = tg(-183° + 180°) = tg(-3°)$.
Теперь сравним $tg(-2°)$ и $tg(-3°)$.
Функция $y = tg(x)$ возрастает на интервале $(-90°, 90°)$. Оба угла, $-2°$ и $-3°$, принадлежат этому интервалу.
Сравним аргументы: $-2° > -3°$.
Поскольку функция тангенса возрастает, то $tg(-2°) > tg(-3°)$.
Следовательно, $tg(-182°) > tg(-183°)$.
Ответ: $tg(-182°) > tg(-183°)$.

3) tg 5 и tg 6
Оценим, в каких четвертях лежат углы 5 и 6 радиан. Используем приближение $\pi \approx 3.14159$.
$\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$.
Оба угла, 5 и 6, находятся в интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, что соответствует IV координатной четверти.
На этом интервале функция $y = tg(x)$ является возрастающей.
Сравниваем аргументы: $5 < 6$.
Так как функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $tg(5) < tg(6)$.
Ответ: $tg 5 < tg 6$.

4) ctg(-11π/10) и ctg(-12π/11)
Используем нечетность функции котангенса ($ctg(-x) = -ctg(x)$) и ее периодичность ($T=\pi$).
$ctg(-\frac{11\pi}{10}) = -ctg(\frac{11\pi}{10}) = -ctg(\pi + \frac{\pi}{10}) = -ctg(\frac{\pi}{10})$.
$ctg(-\frac{12\pi}{11}) = -ctg(\frac{12\pi}{11}) = -ctg(\pi + \frac{\pi}{11}) = -ctg(\frac{\pi}{11})$.
Сравним $-ctg(\frac{\pi}{10})$ и $-ctg(\frac{\pi}{11})$. Для этого сначала сравним $ctg(\frac{\pi}{10})$ и $ctg(\frac{\pi}{11})$.
Функция $y = ctg(x)$ является убывающей на интервале $(0, \pi)$. Углы $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{11}$ принадлежат этому интервалу.
Сравним аргументы: $\frac{1}{10} > \frac{1}{11}$, следовательно, $\frac{\pi}{10} > \frac{\pi}{11}$.
Так как функция котангенса убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $ctg(\frac{\pi}{10}) < ctg(\frac{\pi}{11})$.
Теперь умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-ctg(\frac{\pi}{10}) > -ctg(\frac{\pi}{11})$.
Таким образом, $ctg(-\frac{11\pi}{10}) > ctg(-\frac{12\pi}{11})$.
Ответ: $ctg(-\frac{11\pi}{10}) > ctg(-\frac{12\pi}{11})$.

5) ctg 223° и ctg 222°
Оба угла, $223°$ и $222°$, находятся в интервале $(180°, 270°)$, что соответствует III координатной четверти.
На этом интервале функция $y = ctg(x)$ является убывающей.
Сравним аргументы: $223° > 222°$.
Поскольку функция котангенса убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Следовательно, $ctg(223°) < ctg(222°)$.
Ответ: $ctg(223°) < ctg(222°)$.

6) ctg(-1) и ctg(-1.5)
Оценим значения углов в радианах. $\pi \approx 3.14159$, значит $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$.
Оба угла, -1 и -1.5, находятся в интервале $(-\pi, 0)$.
На этом интервале функция $y = ctg(x)$ является убывающей.
Сравним аргументы: $-1 > -1.5$.
Так как функция котангенса убывает на данном интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Следовательно, $ctg(-1) < ctg(-1.5)$.
Ответ: $ctg(-1) < ctg(-1.5)$.