Номер 170, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. Возможно ли равенство:

1) $ \sin \alpha = \sqrt{2} \sin 44^\circ; $

2) $ \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 61^\circ? $

1) $sin\alpha = \sqrt{2}sin 44^\circ$

Для того чтобы данное равенство было возможным, значение выражения в правой части должно находиться в пределах от -1 до 1 включительно, так как область значений функции синус $E(y=sin\alpha) = [-1; 1]$.

Оценим значение выражения $\sqrt{2}sin 44^\circ$.

На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синус является возрастающей. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса.

Сравним угол $44^\circ$ с известным углом $45^\circ$:

$44^\circ < 45^\circ$

Следовательно, для их синусов выполняется неравенство:

$sin 44^\circ < sin 45^\circ$

Мы знаем, что $sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в неравенство:

$sin 44^\circ < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$ (поскольку $\sqrt{2} > 0$, знак неравенства не изменится):

$\sqrt{2}sin 44^\circ < \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}sin 44^\circ < \frac{2}{2}$

$\sqrt{2}sin 44^\circ < 1$

Так как угол $44^\circ$ находится в первой четверти, его синус положителен ($sin 44^\circ > 0$), значит и все выражение $\sqrt{2}sin 44^\circ > 0$.

Таким образом, мы получили, что $0 < \sqrt{2}sin 44^\circ < 1$. Это значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, существует такой угол $\alpha$, для которого равенство будет верным.

Ответ: да, возможно.

2) $cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}sin 61^\circ$

Для того чтобы данное равенство было возможным, значение выражения в правой части должно находиться в пределах от -1 до 1 включительно, так как область значений функции косинус $E(y=cos\alpha) = [-1; 1]$.

Оценим значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}}sin 61^\circ$.

На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синус является возрастающей.

Сравним угол $61^\circ$ с известным углом $60^\circ$:

$61^\circ > 60^\circ$

Следовательно, для их синусов выполняется неравенство:

$sin 61^\circ > sin 60^\circ$

Мы знаем, что $sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в неравенство:

$sin 61^\circ > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (поскольку $\frac{2}{\sqrt{3}} > 0$, знак неравенства не изменится):

$\frac{2}{\sqrt{3}}sin 61^\circ > \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{2}{\sqrt{3}}sin 61^\circ > 1$

Полученное значение больше 1. Поскольку максимальное значение косинуса любого угла равно 1, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, невозможно.