Номер 168, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Сравните:

1) $ \sin \frac{10\pi}{9} $ и $ \sin \frac{8\pi}{7} $;

2) $ \sin (-91^\circ) $ и $ \sin (-93^\circ) $;

3) $ \sin 8 $ и $ \sin 8,5 $;

4) $ \cos \frac{13\pi}{22} $ и $ \cos \frac{12\pi}{23} $;

5) $ \cos 183^\circ $ и $ \cos 185^\circ $;

6) $ \cos (-5) $ и $ \cos (-6) $.

1) Сравнить $ \sin\frac{10\pi}{9} $ и $ \sin\frac{8\pi}{7} $.

Сначала определим, в каких четвертях находятся углы.
Угол $ \frac{10\pi}{9} = \pi + \frac{\pi}{9} $. Так как $ \pi < \pi + \frac{\pi}{9} < \frac{3\pi}{2} $, этот угол находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен.
Угол $ \frac{8\pi}{7} = \pi + \frac{\pi}{7} $. Так как $ \pi < \pi + \frac{\pi}{7} < \frac{3\pi}{2} $, этот угол также находится в третьей четверти. Синус здесь также отрицателен.
Используем формулу приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $:
$ \sin\frac{10\pi}{9} = \sin(\pi + \frac{\pi}{9}) = -\sin\frac{\pi}{9} $
$ \sin\frac{8\pi}{7} = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin\frac{\pi}{7} $
Теперь нам нужно сравнить $ -\sin\frac{\pi}{9} $ и $ -\sin\frac{\pi}{7} $. Это эквивалентно сравнению $ \sin\frac{\pi}{9} $ и $ \sin\frac{\pi}{7} $.
Углы $ \frac{\pi}{9} $ и $ \frac{\pi}{7} $ находятся в первой четверти (от 0 до $ \frac{\pi}{2} $). В этой четверти функция синус возрастает.
Сравним углы: так как $ 9 > 7 $, то $ \frac{1}{9} < \frac{1}{7} $, и следовательно $ \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{7} $.
Поскольку синус в первой четверти возрастает, из $ \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{7} $ следует, что $ \sin\frac{\pi}{9} < \sin\frac{\pi}{7} $.
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $ -\sin\frac{\pi}{9} > -\sin\frac{\pi}{7} $.
Следовательно, $ \sin\frac{10\pi}{9} > \sin\frac{8\pi}{7} $.
Ответ: $ \sin\frac{10\pi}{9} > \sin\frac{8\pi}{7} $.

2) Сравнить $ \sin(-91^\circ) $ и $ \sin(-93^\circ) $.

Функция синус является нечетной, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(-91^\circ) = -\sin(91^\circ) $
$ \sin(-93^\circ) = -\sin(93^\circ) $
Сравним $ -\sin(91^\circ) $ и $ -\sin(93^\circ) $. Для этого сначала сравним $ \sin(91^\circ) $ и $ \sin(93^\circ) $.
Оба угла, $ 91^\circ $ и $ 93^\circ $, находятся во второй четверти (от $ 90^\circ $ до $ 180^\circ $).
В этой четверти функция синус убывает.
Так как $ 91^\circ < 93^\circ $, то $ \sin(91^\circ) > \sin(93^\circ) $.
Оба значения синуса во второй четверти положительны. Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$ -\sin(91^\circ) < -\sin(93^\circ) $.
Следовательно, $ \sin(-91^\circ) < \sin(-93^\circ) $.
Ответ: $ \sin(-91^\circ) < \sin(-93^\circ) $.

3) Сравнить $ \sin 8 $ и $ \sin 8,5 $.

Углы 8 и 8,5 даны в радианах. Определим их положение на тригонометрической окружности.
Используем приближенные значения: $ \pi \approx 3,14 $, $ 2\pi \approx 6,28 $, $ \frac{5\pi}{2} \approx 7,85 $, $ 3\pi \approx 9,42 $.
Оба угла, 8 и 8,5, находятся в промежутке $ (\frac{5\pi}{2}, 3\pi) $. Этот промежуток соответствует второй четверти, если учесть периодичность.
Период функции синус равен $ 2\pi $. Мы можем вычесть $ 2\pi $ из аргументов, чтобы привести их к основному промежутку:
$ \sin 8 = \sin(8 - 2\pi) $
$ \sin 8,5 = \sin(8,5 - 2\pi) $
$ 8 - 2\pi \approx 8 - 6,28 = 1,72 $. $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $, $ \pi \approx 3,14 $. Так как $ 1,57 < 1,72 < 3,14 $, угол $ 8 - 2\pi $ находится во второй четверти.
$ 8,5 - 2\pi \approx 8,5 - 6,28 = 2,22 $. Так как $ 1,57 < 2,22 < 3,14 $, угол $ 8,5 - 2\pi $ также находится во второй четверти.
Во второй четверти функция синус убывает.
Сравним аргументы: $ 8 < 8,5 $, значит $ 8 - 2\pi < 8,5 - 2\pi $.
Поскольку синус на этом промежутке убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
$ \sin(8 - 2\pi) > \sin(8,5 - 2\pi) $.
Следовательно, $ \sin 8 > \sin 8,5 $.
Ответ: $ \sin 8 > \sin 8,5 $.

4) Сравнить $ \cos\frac{13\pi}{22} $ и $ \cos\frac{12\pi}{23} $.

Определим четверти, в которых находятся углы.
$ \frac{13\pi}{22} $. Так как $ \frac{13}{22} = 0,59... $, а $ \frac{1}{2} = 0,5 $, то $ \frac{\pi}{2} < \frac{13\pi}{22} < \pi $. Угол находится во второй четверти.
$ \frac{12\pi}{23} $. Так как $ \frac{12}{23} = 0,52... $, то $ \frac{\pi}{2} < \frac{12\pi}{23} < \pi $. Угол также находится во второй четверти.
Во второй четверти функция косинус убывает.
Сравним величины углов:
$ \frac{13}{22} $ и $ \frac{12}{23} $. Приведем к общему знаменателю: $ \frac{13 \cdot 23}{22 \cdot 23} $ и $ \frac{12 \cdot 22}{23 \cdot 22} $.
$ 13 \cdot 23 = 299 $.
$ 12 \cdot 22 = 264 $.
Так как $ 299 > 264 $, то $ \frac{13}{22} > \frac{12}{23} $, и следовательно $ \frac{13\pi}{22} > \frac{12\pi}{23} $.
Поскольку косинус во второй четверти убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
$ \cos\frac{13\pi}{22} < \cos\frac{12\pi}{23} $.
Ответ: $ \cos\frac{13\pi}{22} < \cos\frac{12\pi}{23} $.

5) Сравнить $ \cos 183^\circ $ и $ \cos 185^\circ $.

Оба угла, $ 183^\circ $ и $ 185^\circ $, находятся в третьей четверти (от $ 180^\circ $ до $ 270^\circ $).
В третьей четверти функция косинус возрастает (значения меняются от -1 при $ 180^\circ $ до 0 при $ 270^\circ $).
Сравниваем аргументы: $ 183^\circ < 185^\circ $.
Так как косинус на этом промежутке возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
$ \cos 183^\circ < \cos 185^\circ $.
Ответ: $ \cos 183^\circ < \cos 185^\circ $.

6) Сравнить $ \cos(-5) $ и $ \cos(-6) $.

Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $.
Поэтому сравнение $ \cos(-5) $ и $ \cos(-6) $ эквивалентно сравнению $ \cos 5 $ и $ \cos 6 $.
Углы 5 и 6 даны в радианах. Определим их положение.
Используем приближенные значения: $ \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 $, $ 2\pi \approx 6,28 $.
Оба угла, 5 и 6, находятся в промежутке $ (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) $, то есть в четвертой четверти.
В четвертой четверти функция косинус возрастает (значения меняются от 0 при $ \frac{3\pi}{2} $ до 1 при $ 2\pi $).
Сравниваем аргументы: $ 5 < 6 $.
Так как косинус на этом промежутке возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
$ \cos 5 < \cos 6 $.
Следовательно, $ \cos(-5) < \cos(-6) $.
Ответ: $ \cos(-5) < \cos(-6) $.