Номер 163, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. На рисунке 6 изображена часть графика периодической функции, период которой равен T. Постройте график этой функции на промежутке $ [-2T; 2T] $.

Рис. 6

y x 0 T

а

y x $ - \frac{T}{2} $ 0 $ \frac{T}{2} $

б

y x $ - \frac{T}{4} $ 0 $ \frac{3T}{4} $

B

а)

Исходный график функции $f(x)$ задан на промежутке $[0, T]$, длина которого равна периоду $T$. Это означает, что данный фрагмент является основным, повторяющимся элементом графика. Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ необходимо использовать свойство периодичности $f(x+kT) = f(x)$, где $k$ - любое целое число. Это эквивалентно сдвигу исходного фрагмента графика влево и вправо на расстояние, кратное периоду $T$.

1. Промежуток $[T; 2T]$: Сдвигаем исходный график на $T$ вправо. Точка, близкая к $(0, 2)$, переместится в точку, близкую к $(T, 2)$, а точка $(T, -1)$ переместится в $(2T, -1)$. Получим кривую от $(T, 2)$ (не включая) до $(2T, -1]$.

2. Промежуток $[-T; 0]$: Сдвигаем исходный график на $T$ влево. Точка, близкая к $(0, 2)$, переместится в точку, близкую к $(-T, 2)$, а точка $(T, -1)$ переместится в $(0, -1)$. Получим кривую от $(-T, 2)$ (не включая) до $(0, -1]$.

3. Промежуток $[-2T; -T]$: Сдвигаем исходный график на $2T$ влево. Получим кривую от $(-2T, 2)$ (не включая) до $(-T, -1]$.

В результате на всем промежутке $[-2T; 2T]$ график будет состоять из четырех одинаковых фрагментов. В точках $x = -T, 0, T$ функция будет иметь разрывы первого рода (скачки). Например, в точке $x=0$ значение функции равно $f(0) = -1$ (согласно сдвинутому фрагменту), а предел справа $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$ (согласно исходному фрагменту).

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из четырех последовательных идентичных кривых, каждая из которых является копией исходного графика. В точках $x = -T, 0, T$ наблюдаются разрывы: при подходе к этим точкам слева значение функции равно $-1$, а при подходе справа функция стремится к $2$.

б)

Исходный график задан на промежутке $[-T/2, T/2]$, длина которого равна периоду $T$. График на этом промежутке представляет собой V-образную непрерывную линию с минимумом в точке $(0, 0)$. На концах промежутка, в точках $x = -T/2$ и $x = T/2$, функция принимает одинаковое значение (по сетке, $y=2$), что соответствует свойству непрерывной периодической функции: $f(-T/2) = f(-T/2 + T) = f(T/2)$.

Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ будем сдвигать этот V-образный фрагмент на $T$ влево и вправо.

1. Сдвиг исходного графика на $T$ вправо дает нам такой же V-образный фрагмент на промежутке $[T/2, 3T/2]$ с минимумом в точке $(T, 0)$.

2. Сдвиг исходного графика на $T$ влево дает V-образный фрагмент на промежутке $[-3T/2, -T/2]$ с минимумом в точке $(-T, 0)$.

3. Повторяя эти сдвиги, мы полностью покрываем промежуток $[-2T; 2T]$. Границы промежутка $x=-2T$ и $x=2T$ будут являться точками минимума, так как $f(2T) = f(0+2T) = f(0) = 0$ и $f(-2T) = f(0-2T) = f(0) = 0$.

Итоговый график будет представлять собой непрерывную ломаную линию, состоящую из отрезков прямых и напоминающую последовательность букв "W".

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ представляет собой непрерывную ломаную линию ("треугольную волну"). Локальные минимумы (значение 0) находятся в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$. Локальные максимумы (значение 2) находятся в точках $x = -3T/2, -T/2, T/2, 3T/2$.

в)

Исходный график показан для $x$ от $-T/4$ до $3T/4$. Длина этого промежутка равна $T$, что соответствует периоду функции. График представляет собой одну возрастающую ветвь, которая начинается в точке с координатами $(-T/4, y_0)$ (где по сетке $y_0 \approx -1$), проходит через начало координат $(0, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=3T/4$ (при $x \to (3T/4)^-$, значение $y \to +\infty$).

Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$ мы будем копировать эту ветвь, сдвигая ее на целое число периодов $T$ влево и вправо. Из свойства периодичности $f(x+T) = f(x)$ следует:

1. Асимптоты: Если есть асимптота $x=3T/4$, то все асимптоты имеют вид $x = 3T/4 + kT$. На промежутке $[-2T; 2T]$ (т.е. $[-8T/4; 8T/4]$) это будут прямые $x = -5T/4$, $x = -T/4$, $x = 3T/4$ и $x = 7T/4$.

2. Нули функции: Если $f(0)=0$, то нули будут во всех точках $x = 0 + kT = kT$. На промежутке $[-2T; 2T]$ это точки $x=-2T, x=-T, x=0, x=T, x=2T$.

3. Построение: График будет состоять из одинаковых ветвей, заключенных между асимптотами.

• На промежутке $(-5T/4, -T/4)$ будет ветвь, проходящая через точку $(-T, 0)$.
• На промежутке $(-T/4, 3T/4)$ расположена исходная ветвь, проходящая через $(0, 0)$.
• На промежутке $(3T/4, 7T/4)$ будет ветвь, проходящая через точку $(T, 0)$.
• Крайние части промежутка $[-2T; 2T]$ будут заняты фрагментами ветвей. На отрезке $[-2T, -5T/4)$ график будет идти от точки $(-2T, 0)$ до $+\infty$. На отрезке $(7T/4, 2T]$ график начнется от значения $y_0 \approx -1$ и дойдет до точки $(2T, 0)$.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из повторяющихся возрастающих ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x = -5T/4, -T/4, 3T/4, 7T/4$. Каждая ветвь начинается справа от асимптоты со значения $y \approx -1$, возрастает, пересекает ось Ox в точках $x=kT$ (где $k$ — целое число), и устремляется к $+\infty$ при приближении к следующей асимптоте слева.