Номер 156, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Найдите значение выражения:

1) $8\sin(-45^\circ) - \sqrt{2} \text{ctg}(-45^\circ) + \cos(-45^\circ);$

2) $\frac{\sin(-45^\circ)\cos(-60^\circ)}{\text{tg}(-30^\circ)};$

3) $2\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)+3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+10\cos^2\left(-\frac{\pi}{6}\right).$

1) $8\sin(-45°) - \sqrt{2}\text{ctg}(-45°) + \cos(-45°)$

Для решения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также их табличными значениями.

Функции синус и котангенс являются нечетными, а косинус — четной:

• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$
• $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$
• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

Табличные значения для угла $45°$:

• $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\text{ctg}(45°) = 1$
• $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$8\sin(-45°) - \sqrt{2}\text{ctg}(-45°) + \cos(-45°) = 8(-\sin(45°)) - \sqrt{2}(-\text{ctg}(45°)) + \cos(45°) = 8(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2}(-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростим полученное выражение:

$-4\sqrt{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{6\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-6\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

2) $\frac{\sin(-45°)\cos(-60°)}{\text{tg}(-30°)}$

Используем свойства четности/нечетности и табличные значения:

• $\sin(-45°) = -\sin(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos(-60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
• $\text{tg}(-30°) = -\text{tg}(30°) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставим значения в дробь:

$\frac{(-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{1}{2})}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Разделим дроби, умножив числитель на перевернутый знаменатель. Знак минус на минус дает плюс:

$\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

3) $2\text{tg}(-\frac{\pi}{4})\text{tg}^2(-\frac{\pi}{3}) + 3\sin(-\frac{\pi}{2}) + 10\cos^2(-\frac{\pi}{6})$

Найдем значения тригонометрических функций для углов, заданных в радианах:

• $\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1$
• $\text{tg}^2(-\frac{\pi}{3}) = (-\text{tg}(\frac{\pi}{3}))^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$
• $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
• $\cos^2(-\frac{\pi}{6}) = (\cos(-\frac{\pi}{6}))^2 = (\cos(\frac{\pi}{6}))^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$2 \cdot (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 10 \cdot \frac{3}{4}$

Выполним вычисления:

$-6 - 3 + \frac{30}{4} = -9 + \frac{15}{2} = -\frac{18}{2} + \frac{15}{2} = \frac{-18+15}{2} = -\frac{3}{2}$

Ответ: $-\frac{3}{2}$.