Номер 160, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$;

2) $f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} x$;

3) $f(x) = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x}$;

4) $f(x) = \frac{x^4 + \cos x}{x^2 - 4}$;

5) $f(x) = \frac{\sin x}{|x| - 3}$;

6) $f(x) = \frac{\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \operatorname{tg} x}{x - \frac{\pi}{4}}$;

7) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg}|x - 1|}{\operatorname{ctg}|x + 1|}$.

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция чётная.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция нечётная.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Область определения функции $D(f)$ находится из условия $\sin^2 x \neq 0$, что равносильно $\sin x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = -\frac{1}{\sin^2(-x)} = -\frac{1}{(-\sin x)^2} = -\frac{1}{\sin^2 x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} x$

Область определения $D(f)$ задается условием существования котангенса: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \cos(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.

Так как косинус — функция чётная ($\cos(-x) = \cos x$), а котангенс — нечётная ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), получаем:

$f(-x) = \cos x - \operatorname{ctg} x$.

Сравнивая с $f(x)$ и $-f(x)$, видим, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

3) $f(x) = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x}$

Знаменатель $2 - \cos x$ никогда не равен нулю, так как $-1 \le \cos x \le 1$. Область определения $D(f)$ определяется областью определения тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x) \operatorname{tg}(-x)}{2 - \cos(-x)} = \frac{(-x)(-\operatorname{tg} x)}{2 - \cos x} = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $f(x) = \frac{x^4 + \cos x}{x^2 - 4}$

Область определения $D(f)$ находится из условия $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. Эта область определения симметрична.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^4 + \cos(-x)}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^4 + \cos x}{x^2 - 4} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

5) $f(x) = \frac{\sin x}{|x| - 3}$

Область определения $D(f)$ находится из условия $|x| - 3 \neq 0$, то есть $|x| \neq 3$, откуда $x \neq \pm 3$. Эта область определения симметрична.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{|-x| - 3} = \frac{-\sin x}{|x| - 3} = - \frac{\sin x}{|x| - 3} = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

6) $f(x) = \frac{(x - \frac{\pi}{4}) \operatorname{tg} x}{x - \frac{\pi}{4}}$

Область определения $D(f)$ требует выполнения двух условий: $x - \frac{\pi}{4} \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{4}$) и $\cos x \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$).

Область определения не является симметричной, так как точка $x = \frac{\pi}{4}$ из нее исключена, а точка $x = -\frac{\pi}{4}$ в нее входит (так как $-\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{4}$ и $\cos(-\frac{\pi}{4}) \neq 0$).

Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

7) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg}|x-1|}{\operatorname{ctg}|x+1|}$

Область определения функции сложная, но можно показать, что она симметрична относительно начала координат. Если $x_0$ не входит в область определения (например, потому что $\sin|x_0 - 1|=0$), то и $-x_0$ также не будет входить в область определения (потому что $|(-x_0)+1| = |x_0-1|$, а значит $\sin|(-x_0)+1|=0$).

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}|-x-1|}{\operatorname{ctg}|-x+1|} = \frac{\operatorname{ctg}|-(x+1)|}{\operatorname{ctg}|-(x-1)|} = \frac{\operatorname{ctg}|x+1|}{\operatorname{ctg}|x-1|} = \frac{1}{f(x)}$.

Условие чётности $f(-x) = f(x)$ принимает вид $f(x) = \frac{1}{f(x)}$, то есть $(f(x))^2 = 1$, что выполняется не для всех $x$ из области определения. Условие нечётности $f(-x) = -f(x)$ принимает вид $\frac{1}{f(x)} = -f(x)$, то есть $(f(x))^2 = -1$, что невозможно для действительных функций. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.