Страница 28 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Найдите значение выражения:

1) $8\sin(-45^\circ) - \sqrt{2} \text{ctg}(-45^\circ) + \cos(-45^\circ);$

2) $\frac{\sin(-45^\circ)\cos(-60^\circ)}{\text{tg}(-30^\circ)};$

3) $2\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)+3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+10\cos^2\left(-\frac{\pi}{6}\right).$

1) $8\sin(-45°) - \sqrt{2}\text{ctg}(-45°) + \cos(-45°)$

Для решения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также их табличными значениями.

Функции синус и котангенс являются нечетными, а косинус — четной:

• $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$
• $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$
• $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$

Табличные значения для угла $45°$:

• $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\text{ctg}(45°) = 1$
• $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$8\sin(-45°) - \sqrt{2}\text{ctg}(-45°) + \cos(-45°) = 8(-\sin(45°)) - \sqrt{2}(-\text{ctg}(45°)) + \cos(45°) = 8(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2}(-1) + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростим полученное выражение:

$-4\sqrt{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{6\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-6\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

2) $\frac{\sin(-45°)\cos(-60°)}{\text{tg}(-30°)}$

Используем свойства четности/нечетности и табличные значения:

• $\sin(-45°) = -\sin(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos(-60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
• $\text{tg}(-30°) = -\text{tg}(30°) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставим значения в дробь:

$\frac{(-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{1}{2})}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Разделим дроби, умножив числитель на перевернутый знаменатель. Знак минус на минус дает плюс:

$\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

3) $2\text{tg}(-\frac{\pi}{4})\text{tg}^2(-\frac{\pi}{3}) + 3\sin(-\frac{\pi}{2}) + 10\cos^2(-\frac{\pi}{6})$

Найдем значения тригонометрических функций для углов, заданных в радианах:

• $\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1$
• $\text{tg}^2(-\frac{\pi}{3}) = (-\text{tg}(\frac{\pi}{3}))^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$
• $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
• $\cos^2(-\frac{\pi}{6}) = (\cos(-\frac{\pi}{6}))^2 = (\cos(\frac{\pi}{6}))^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$2 \cdot (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-1) + 10 \cdot \frac{3}{4}$

Выполним вычисления:

$-6 - 3 + \frac{30}{4} = -9 + \frac{15}{2} = -\frac{18}{2} + \frac{15}{2} = \frac{-18+15}{2} = -\frac{3}{2}$

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

157. Определите знак выражения:

1) $ \sin 148^\circ \cos 116^\circ $

2) $ \operatorname{tg} 216^\circ \cos (-232^\circ) $

3) $ \sin 4 \operatorname{tg} 5 $

1) sin 148° cos 116°

Чтобы определить знак всего выражения, нужно определить знак каждого из множителей.

Сначала определим знак $\sin 148^\circ$. Угол $148^\circ$ находится во второй координатной четверти, так как $90^\circ < 148^\circ < 180^\circ$. Значения синуса во второй четверти положительны. Следовательно, $\sin 148^\circ > 0$.

Теперь определим знак $\cos 116^\circ$. Угол $116^\circ$ также находится во второй координатной четверти, так как $90^\circ < 116^\circ < 180^\circ$. Значения косинуса во второй четверти отрицательны. Следовательно, $\cos 116^\circ < 0$.

Произведение положительного числа ($\sin 148^\circ$) и отрицательного числа ($\cos 116^\circ$) будет отрицательным. $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: минус (-).

2) tg 216°cos (–232°)

Определим знак каждого множителя в выражении.

Определим знак $\tan 216^\circ$. Угол $216^\circ$ находится в третьей координатной четверти, так как $180^\circ < 216^\circ < 270^\circ$. Значения тангенса в третьей четверти положительны. Следовательно, $\tan 216^\circ > 0$.

Определим знак $\cos(-232^\circ)$. Функция косинуса является четной, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Таким образом, $\cos(-232^\circ) = \cos(232^\circ)$. Угол $232^\circ$ находится в третьей координатной четверти, так как $180^\circ < 232^\circ < 270^\circ$. Значения косинуса в третьей четверти отрицательны. Следовательно, $\cos(-232^\circ) < 0$.

Произведение положительного числа ($\tan 216^\circ$) и отрицательного числа ($\cos(-232^\circ)$) будет отрицательным. $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: минус (-).

3) sin 4 tg 5

Если в аргументе тригонометрической функции не указан знак градуса, то угол измеряется в радианах. Для определения знаков воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3,14$.

Определим знак $\sin 4$. Найдем, в какой четверти находится угол в 4 радиана. Сравним 4 с границами четвертей в радианах: $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3,14}{2} = 4,71$. Так как $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол в 4 радиана находится в третьей координатной четверти. Синус в третьей четверти отрицателен. Следовательно, $\sin 4 < 0$.

Определим знак $\tan 5$. Найдем, в какой четверти находится угол в 5 радиан. Сравним 5 с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28$. Так как $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, угол в 5 радиан находится в четвертой координатной четверти. Тангенс в четвертой четверти отрицателен. Следовательно, $\tan 5 < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел ($\sin 4$ и $\tan 5$) будет положительным. $(-) \cdot (-) = (+)$.

Ответ: плюс (+).

158. Сравните:

1) $\cos 40^\circ$ и $\sin 240^\circ$;

2) $\tan 160^\circ$ и $\cot (-160^\circ)$;

3) $\sin \frac{17\pi}{10}$ и $\cos \frac{3\pi}{10}$;

4) $\tan 5$ и $\sin 2.5$.

1) cos 40° и sin 240°
Для сравнения значений определим их знаки. Угол $40°$ находится в первой координатной четверти ($0° < 40° < 90°$). В этой четверти косинус положителен, следовательно, $cos 40° > 0$.
Угол $240°$ находится в третьей координатной четверти ($180° < 240° < 270°$). В этой четверти синус отрицателен, следовательно, $sin 240° < 0$.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $cos 40° > sin 240°$.
Ответ: $cos 40° > sin 240°$.

2) tg 160° и ctg (−160°)
Определим знаки данных выражений. Угол $160°$ находится во второй координатной четверти ($90° < 160° < 180°$). В этой четверти тангенс отрицателен, значит, $tg 160° < 0$.
Функция котангенс является нечетной, то есть $ctg(-α) = -ctg(α)$. Применим это свойство: $ctg(-160°) = -ctg(160°)$.
Угол $160°$ находится во второй четверти, где котангенс также отрицателен ($ctg 160° < 0$).
Следовательно, выражение $-ctg(160°)$ будет положительным, то есть $ctg(-160°) > 0$.
Сравнивая отрицательное число $tg 160°$ и положительное число $ctg(-160°)$, получаем, что $tg 160° < ctg(-160°)$.
Ответ: $tg 160° < ctg(-160°)$.

3) sin (17π/10) и cos (3π/10)
Сначала определим знаки выражений. Угол $\frac{3\pi}{10}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{3}{10} < \frac{5}{10}$). Косинус в первой четверти положителен, значит $cos\frac{3\pi}{10} > 0$.
Угол $\frac{17\pi}{10}$ находится в четвертой четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{17\pi}{10} < 2\pi$ (поскольку $\frac{15}{10} < \frac{17}{10} < \frac{20}{10}$). Синус в четвертой четверти отрицателен, значит $sin\frac{17\pi}{10} < 0$.
Сравнивая отрицательное число с положительным, получаем $sin\frac{17\pi}{10} < cos\frac{3\pi}{10}$.
Альтернативный способ:
Используем формулу приведения: $sin\frac{17\pi}{10} = sin(\frac{15\pi}{10} + \frac{2\pi}{10}) = sin(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}) = -cos\frac{\pi}{5}$.
Теперь сравним $-cos\frac{\pi}{5}$ и $cos\frac{3\pi}{10}$. Углы $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{10}$ оба в первой четверти, их косинусы положительны. Значит, $-cos\frac{\pi}{5} < 0$, а $cos\frac{3\pi}{10} > 0$. Следовательно, $-cos\frac{\pi}{5} < cos\frac{3\pi}{10}$, что означает $sin\frac{17\pi}{10} < cos\frac{3\pi}{10}$.
Ответ: $sin\frac{17\pi}{10} < cos\frac{3\pi}{10}$.

4) tg 5 и sin 2,5
Определим, в каких четвертях находятся углы 5 радиан и 2,5 радиана. Для этого используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\pi \approx 3,14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$; $2\pi \approx 6,28$.
Для угла 5 радиан выполняется неравенство $4,71 < 5 < 6,28$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Это четвертая координатная четверть. Тангенс в четвертой четверти отрицателен, поэтому $tg 5 < 0$.
Для угла 2,5 радиана выполняется неравенство $1,57 < 2,5 < 3,14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 2,5 < \pi$. Это вторая координатная четверть. Синус во второй четверти положителен, поэтому $sin 2,5 > 0$.
Сравнивая отрицательное число $tg 5$ и положительное число $sin 2,5$, получаем $tg 5 < sin 2,5$.
Ответ: $tg 5 < sin 2,5$.

159. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

1) $\sin \alpha > 0$ и $\sin \alpha \cos \alpha < 0$;

2) $|\sin \alpha| = \sin \alpha$ и $\sin \alpha \cos \alpha > 0$?

1) sin α > 0 и sin α cos α < 0;

Для решения задачи проанализируем знаки тригонометрических функций в координатных четвертях. Первое условие $sin α > 0$ означает, что угол $α$ находится в I или II координатной четверти, так как синус положителен именно в этих четвертях. Второе условие $sin α cos α < 0$ говорит о том, что произведение синуса и косинуса отрицательно. Это возможно только если $sin α$ и $cos α$ имеют разные знаки. Поскольку из первого условия мы уже знаем, что $sin α > 0$, то для выполнения второго условия необходимо, чтобы косинус был отрицательным, то есть $cos α < 0$. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Чтобы найти искомую четверть, нужно найти пересечение множеств четвертей, удовлетворяющих обоим условиям: ($α$ в I или II четверти) и ($α$ во II или III четверти). Единственная общая для обоих условий четверть — это вторая. Таким образом, угол $α$ является углом второй четверти.

Ответ: II четверть.

2) |sin α| = sin α и sin α cos α > 0?

Рассмотрим первое условие: $|sin α| = sin α$. Это равенство выполняется только тогда, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $sin α ≥ 0$. Это означает, что угол $α$ может находиться в I или II четверти (а также на граничных значениях $0$, $π$, $2π$, ...). Теперь рассмотрим второе условие: $sin α cos α > 0$. Это неравенство означает, что произведение синуса и косинуса положительно. Это возможно в двух случаях: либо оба сомножителя положительны ($sin α > 0$ и $cos α > 0$), что соответствует I четверти, либо оба отрицательны ($sin α < 0$ и $cos α < 0$), что соответствует III четверти. Из второго условия ($sin α cos α > 0$) также следует, что $sin α \neq 0$, иначе произведение было бы равно нулю, а не больше нуля. Поэтому первое условие $sin α ≥ 0$ уточняется до строгого неравенства $sin α > 0$. Теперь объединим оба условия: нам нужна четверть, где $sin α > 0$ и где $sin α$ и $cos α$ имеют одинаковые знаки. Если $sin α > 0$, то для выполнения второго условия и $cos α$ должен быть больше нуля. Условие, при котором и синус, и косинус положительны ($sin α > 0$ и $cos α > 0$), выполняется только для углов первой четверти.

Ответ: I четверть.

160. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$;

2) $f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} x$;

3) $f(x) = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x}$;

4) $f(x) = \frac{x^4 + \cos x}{x^2 - 4}$;

5) $f(x) = \frac{\sin x}{|x| - 3}$;

6) $f(x) = \frac{\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \operatorname{tg} x}{x - \frac{\pi}{4}}$;

7) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg}|x - 1|}{\operatorname{ctg}|x + 1|}$.

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция чётная.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция нечётная.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Область определения функции $D(f)$ находится из условия $\sin^2 x \neq 0$, что равносильно $\sin x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = -\frac{1}{\sin^2(-x)} = -\frac{1}{(-\sin x)^2} = -\frac{1}{\sin^2 x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = \cos x + \operatorname{ctg} x$

Область определения $D(f)$ задается условием существования котангенса: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \cos(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.

Так как косинус — функция чётная ($\cos(-x) = \cos x$), а котангенс — нечётная ($\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$), получаем:

$f(-x) = \cos x - \operatorname{ctg} x$.

Сравнивая с $f(x)$ и $-f(x)$, видим, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

3) $f(x) = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x}$

Знаменатель $2 - \cos x$ никогда не равен нулю, так как $-1 \le \cos x \le 1$. Область определения $D(f)$ определяется областью определения тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x) \operatorname{tg}(-x)}{2 - \cos(-x)} = \frac{(-x)(-\operatorname{tg} x)}{2 - \cos x} = \frac{x \operatorname{tg} x}{2 - \cos x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $f(x) = \frac{x^4 + \cos x}{x^2 - 4}$

Область определения $D(f)$ находится из условия $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. Эта область определения симметрична.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^4 + \cos(-x)}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^4 + \cos x}{x^2 - 4} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

5) $f(x) = \frac{\sin x}{|x| - 3}$

Область определения $D(f)$ находится из условия $|x| - 3 \neq 0$, то есть $|x| \neq 3$, откуда $x \neq \pm 3$. Эта область определения симметрична.

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{|-x| - 3} = \frac{-\sin x}{|x| - 3} = - \frac{\sin x}{|x| - 3} = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

6) $f(x) = \frac{(x - \frac{\pi}{4}) \operatorname{tg} x}{x - \frac{\pi}{4}}$

Область определения $D(f)$ требует выполнения двух условий: $x - \frac{\pi}{4} \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{4}$) и $\cos x \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$).

Область определения не является симметричной, так как точка $x = \frac{\pi}{4}$ из нее исключена, а точка $x = -\frac{\pi}{4}$ в нее входит (так как $-\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{4}$ и $\cos(-\frac{\pi}{4}) \neq 0$).

Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

7) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg}|x-1|}{\operatorname{ctg}|x+1|}$

Область определения функции сложная, но можно показать, что она симметрична относительно начала координат. Если $x_0$ не входит в область определения (например, потому что $\sin|x_0 - 1|=0$), то и $-x_0$ также не будет входить в область определения (потому что $|(-x_0)+1| = |x_0-1|$, а значит $\sin|(-x_0)+1|=0$).

Проверим значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}|-x-1|}{\operatorname{ctg}|-x+1|} = \frac{\operatorname{ctg}|-(x+1)|}{\operatorname{ctg}|-(x-1)|} = \frac{\operatorname{ctg}|x+1|}{\operatorname{ctg}|x-1|} = \frac{1}{f(x)}$.

Условие чётности $f(-x) = f(x)$ принимает вид $f(x) = \frac{1}{f(x)}$, то есть $(f(x))^2 = 1$, что выполняется не для всех $x$ из области определения. Условие нечётности $f(-x) = -f(x)$ принимает вид $\frac{1}{f(x)} = -f(x)$, то есть $(f(x))^2 = -1$, что невозможно для действительных функций. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

161. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 750^{\circ} $;

2) $ \cos 840^{\circ} $;

3) $ \operatorname{tg} 510^{\circ} $;

4) $ \operatorname{ctg} (-405^{\circ}) $;

5) $ \sin \frac{11\pi}{6} $;

6) $ \operatorname{tg}\left(-\frac{17\pi}{3}\right) $.

1) Для нахождения значения $\sin 750^\circ$ воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $360^\circ$.
Выделим целое число полных оборотов ($360^\circ$) в угле $750^\circ$:
$750^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 30^\circ$.
Используя свойство периодичности $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin \alpha$, где $k$ - целое число, получаем:
$\sin 750^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для нахождения значения $\cos 840^\circ$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $360^\circ$.
Выделим целое число полных оборотов в угле $840^\circ$:
$840^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 120^\circ$.
Следовательно, $\cos 840^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \cos 120^\circ$.
Для вычисления $\cos 120^\circ$ используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$:
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) Для нахождения значения $\text{tg} 510^\circ$ воспользуемся периодичностью функции тангенс. Период тангенса равен $180^\circ$.
Выделим целое число периодов в угле $510^\circ$:
$510^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 150^\circ$.
Следовательно, $\text{tg} 510^\circ = \text{tg}(2 \cdot 180^\circ + 150^\circ) = \text{tg} 150^\circ$.
Для вычисления $\text{tg} 150^\circ$ используем формулу приведения $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg} \alpha$:
$\text{tg} 150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg} 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4) Функция котангенс является нечетной, поэтому $\text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$. Период котангенса равен $180^\circ$ (или $360^\circ$ как два периода).
$\text{ctg}(-405^\circ) = -\text{ctg}(405^\circ)$.
Выделим целое число периодов в угле $405^\circ$:
$405^\circ = 360^\circ + 45^\circ$.
Следовательно, $\text{ctg}(405^\circ) = \text{ctg}(360^\circ + 45^\circ) = \text{ctg} 45^\circ = 1$.
Тогда $\text{ctg}(-405^\circ) = -1$.
Ответ: $-1$.

5) Для нахождения значения $\sin \frac{11\pi}{6}$ используем формулу приведения. Представим угол в удобном виде:
$\frac{11\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$.
Используя формулу $\sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha$, получаем:
$\sin \frac{11\pi}{6} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

6) Для нахождения значения $\text{tg}(-\frac{17\pi}{3})$ воспользуемся периодичностью функции тангенс. Период тангенса равен $\pi$.
Можно прибавить к аргументу целое число периодов, чтобы упростить выражение. Добавим $6\pi$, так как $6\pi = \frac{18\pi}{3}$ и это целое число периодов ($k=6$).
$\text{tg}(-\frac{17\pi}{3}) = \text{tg}(-\frac{17\pi}{3} + 6\pi) = \text{tg}(-\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3})$.
Значение $\text{tg}(\frac{\pi}{3})$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.
$\text{tg}(-\frac{17\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.