Страница 22 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Упростите выражение:

1) $x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}+3) - (x^{\frac{1}{2}}+3)^2;$

2) $(m^{\frac{1}{4}}-n^{\frac{1}{4}})(m^{\frac{1}{4}}+n^{\frac{1}{4}}) + (2m^{\frac{1}{4}}-3n^{\frac{1}{4}})(5m^{\frac{1}{4}}+2n^{\frac{1}{4}});$

3) $(a^{\frac{1}{12}}+b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}}-b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}});$

4) $(a^{\frac{1}{6}}-b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{3}}) - a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}}-a^{\frac{1}{6}}).$

1) $x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 3) - (x^{\frac{1}{2}} + 3)^2$
Вынесем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} + 3)$ за скобки:
$(x^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot (x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} + 3))$
Раскроем внутренние скобки:
$(x^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot (x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 3)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^{\frac{1}{2}} + 3) \cdot (-3)$
Раскроем скобки, умножив каждый член на -3:
$-3 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 3 = -3x^{\frac{1}{2}} - 9$
Ответ: $-3x^{\frac{1}{2}} - 9$

2) $(m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}}) + (2m^{\frac{1}{4}} - 3n^{\frac{1}{4}})(5m^{\frac{1}{4}} + 2n^{\frac{1}{4}})$
Упростим первую часть выражения, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}})(m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}}) = (m^{\frac{1}{4}})^2 - (n^{\frac{1}{4}})^2 = m^{\frac{2}{4}} - n^{\frac{2}{4}} = m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}$
Теперь раскроем скобки во второй части выражения (перемножим многочлены):
$(2m^{\frac{1}{4}} - 3n^{\frac{1}{4}})(5m^{\frac{1}{4}} + 2n^{\frac{1}{4}}) = 2m^{\frac{1}{4}} \cdot 5m^{\frac{1}{4}} + 2m^{\frac{1}{4}} \cdot 2n^{\frac{1}{4}} - 3n^{\frac{1}{4}} \cdot 5m^{\frac{1}{4}} - 3n^{\frac{1}{4}} \cdot 2n^{\frac{1}{4}}$
$= 10m^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} + 4m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 15m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 6n^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$
$= 10m^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 6n^{\frac{1}{2}}$
Сложим результаты обеих частей:
$(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) + (10m^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 6n^{\frac{1}{2}}) = m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}} + 10m^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} - 6n^{\frac{1}{2}}$
Приведем подобные слагаемые:
$(m^{\frac{1}{2}} + 10m^{\frac{1}{2}}) + (-n^{\frac{1}{2}} - 6n^{\frac{1}{2}}) - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}} = 11m^{\frac{1}{2}} - 7n^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}$
Ответ: $11m^{\frac{1}{2}} - 7n^{\frac{1}{2}} - 11m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}$

3) $(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$
Будем последовательно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Сначала перемножим первые две скобки:
$(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}}) = (a^{\frac{1}{12}})^2 - (b^{\frac{1}{12}})^2 = a^{\frac{2}{12}} - b^{\frac{2}{12}} = a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}$
Теперь выражение выглядит так:
$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$
Снова применим формулу разности квадратов к первым двум скобкам:
$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$
Выражение упростилось до:
$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$
Применим формулу разности квадратов в последний раз:
$(a^{\frac{1}{3}})^2 - (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}$

4) $(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}) - a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}})$
Первая часть выражения представляет собой формулу разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$, где $x = a^{\frac{1}{6}}$ и $y = b^{\frac{1}{6}}$. Заметим, что $x^2 = (a^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{1}{3}}$ и $y^2 = (b^{\frac{1}{6}})^2 = b^{\frac{1}{3}}$.
Применим формулу:
$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{6}})^3 - (b^{\frac{1}{6}})^3 = a^{\frac{3}{6}} - b^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}$
Теперь упростим вторую часть выражения, раскрыв скобки:
$- a^{\frac{1}{6}}(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}) = -a^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = -a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}} = -a^{\frac{1}{6}+\frac{2}{6}} + a^{\frac{2}{6}} = -a^{\frac{3}{6}} + a^{\frac{1}{3}} = -a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}}$
Объединим обе упрощенные части:
$(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) + (-a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}}$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}) - b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{2}}$
Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{2}}$

117. Найдите значение выражения:

1) $5^{3,2} \cdot 5^{-2,8} \cdot 5^{2,6};$

2) $(3^{-0,9})^8 : 3^{-10,2};$

3) $(7^{16/17})^{51/32} \cdot 49^{1,25};$

4) $625^{-2,25} \cdot 25^{2/3} \cdot 125^{25/9};$

5) $\left(\frac{3^{5/7} \cdot 5^{5/7}}{15^{-1} \cdot 2^{2/7}}\right)^{-7};$

1) $5^{3,2} \cdot 5^{-2,8} \cdot 5^{2,6}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{3,2} \cdot 5^{-2,8} \cdot 5^{2,6} = 5^{3,2 - 2,8 + 2,6} = 5^{0,4 + 2,6} = 5^3$.
Вычисляем значение: $5^3 = 125$.

Ответ: 125.

2) $(3^{-0,9})^8 : 3^{-10,2}$

Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^{-0,9})^8 = 3^{-0,9 \cdot 8} = 3^{-7,2}$.
Теперь воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$3^{-7,2} : 3^{-10,2} = 3^{-7,2 - (-10,2)} = 3^{-7,2 + 10,2} = 3^3$.
Вычисляем значение: $3^3 = 27$.

Ответ: 27.

3) $(7^{\frac{16}{51}})^{-\frac{51}{32}} \cdot 49^{1,25}$

Упростим каждый множитель по отдельности. Для первого множителя применим правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(7^{\frac{16}{51}})^{-\frac{51}{32}} = 7^{\frac{16}{51} \cdot (-\frac{51}{32})} = 7^{-\frac{16}{32}} = 7^{-\frac{1}{2}}$.
Для второго множителя представим $49$ как $7^2$ и $1,25$ как дробь $\frac{5}{4}$:
$49^{1,25} = (7^2)^{\frac{5}{4}} = 7^{2 \cdot \frac{5}{4}} = 7^{\frac{5}{2}}$.
Теперь перемножим полученные выражения, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{2}} = 7^{-\frac{1}{2} + \frac{5}{2}} = 7^{\frac{4}{2}} = 7^2 = 49$.

Ответ: 49.

4) $625^{-2,25} \cdot 25^{\frac{2}{3}} \cdot 125^{\frac{25}{9}}$

Приведем все основания к степени числа 5: $625 = 5^4$, $25 = 5^2$, $125 = 5^3$. Также представим десятичную степень в виде дроби: $-2,25 = -\frac{9}{4}$.
Подставим эти значения в выражение:
$(5^4)^{-\frac{9}{4}} \cdot (5^2)^{\frac{2}{3}} \cdot (5^3)^{\frac{25}{9}}$.
Упростим каждый множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$5^{4 \cdot (-\frac{9}{4})} \cdot 5^{2 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 5^{3 \cdot \frac{25}{9}} = 5^{-9} \cdot 5^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{25}{3}}$.
Теперь сложим показатели степеней:
$5^{-9 + \frac{4}{3} + \frac{25}{3}} = 5^{-9 + \frac{29}{3}} = 5^{-\frac{27}{3} + \frac{29}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$.
Значение выражения можно записать в виде корня: $\sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$.

Ответ: $5^{\frac{2}{3}}$ (или $\sqrt[3]{25}$).

5) $(\frac{3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}}}{15^{-1\frac{2}{7}}}) ^{-7}$

Сначала упростим выражение в числителе, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$3^{-\frac{5}{7}} \cdot 5^{-\frac{5}{7}} = (3 \cdot 5)^{-\frac{5}{7}} = 15^{-\frac{5}{7}}$.
Теперь упростим дробь внутри скобок. Знаменатель $15^{-1\frac{2}{7}} = 15^{-\frac{9}{7}}$.
$\frac{15^{-\frac{5}{7}}}{15^{-\frac{9}{7}}} = 15^{-\frac{5}{7} - (-\frac{9}{7})} = 15^{-\frac{5}{7} + \frac{9}{7}} = 15^{\frac{4}{7}}$.
Теперь возведем полученный результат в степень -7:
$(15^{\frac{4}{7}})^{-7} = 15^{\frac{4}{7} \cdot (-7)} = 15^{-4}$.
Вычислим значение: $15^{-4} = \frac{1}{15^4} = \frac{1}{(15^2)^2} = \frac{1}{225^2} = \frac{1}{50625}$.

Ответ: $\frac{1}{50625}$.

118. Решите уравнение:

1) $x^{-\frac{3}{4}} = 0.125$;

2) $(x+4)^{1.6} = 256$.

1) $x^{-\frac{3}{4}} = 0,125$

Первым шагом преобразуем десятичную дробь в правой части уравнения в обыкновенную, а затем в степень:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$x^{-\frac{3}{4}} = 2^{-3}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную показателю степени при $x$, то есть в степень $-\frac{4}{3}$:

$(x^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{4}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{4}{3}}$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$x^{(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{(-3) \cdot (-\frac{4}{3})}$

$x^1 = 2^4$

$x = 16$

Поскольку в показателе степени $m/n = -3/4$ знаменатель $n=4$ является четным числом, по определению степени с рациональным показателем основание $x$ должно быть положительным ($x>0$). Найденный корень $x=16$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $16$.

2) $(x + 4)^{1,6} = 256$

Сначала представим десятичный показатель степени в виде обыкновенной дроби, а число в правой части — в виде степени:

$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

$256 = 2^8$

Уравнение принимает вид:

$(x + 4)^{\frac{8}{5}} = 2^8$

Выражение $(x + 4)^{\frac{8}{5}}$ можно записать как $(\sqrt[5]{x+4})^8$. Тогда уравнение выглядит так:

$(\sqrt[5]{x+4})^8 = 2^8$

Так как показатель степени (8) — четное число, то выражение в основании степени может быть как положительным, так и отрицательным. То есть, $\sqrt[5]{x+4}$ может быть равен как $2$, так и $-2$.

$\sqrt[5]{x+4} = \pm 2$

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $\sqrt[5]{x+4} = 2$

Возводим обе части в пятую степень:

$x+4 = 2^5$

$x+4 = 32$

$x = 28$

Случай 2: $\sqrt[5]{x+4} = -2$

Возводим обе части в пятую степень:

$x+4 = (-2)^5$

$x+4 = -32$

$x = -36$

Таким образом, уравнение имеет два решения.

Ответ: $-36; 28$.

119. Представьте данное выражение в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a^{19} - b^5;$

2) $x^{\frac{4}{5}} - y^{\frac{3}{7}};$

3) $x^{\frac{1}{3}} - 5;$

4) $x^{\frac{5}{11}} - y^{\frac{1}{5}}.$

1) $a^{19} - b^5$

а) Чтобы представить данное выражение в виде разности квадратов, мы должны найти такие выражения $X$ и $Y$, что $X^2 = a^{19}$ и $Y^2 = b^5$. Используя свойство степени $(z^m)^n = z^{mn}$, получаем:
$X = (a^{19})^{1/2} = a^{19 \cdot 1/2} = a^{19/2}$
$Y = (b^{5})^{1/2} = b^{5 \cdot 1/2} = b^{5/2}$
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(a^{19/2})^2 - (b^{5/2})^2$. Теперь разложим его на множители по формуле разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:
$(a^{19/2} - b^{5/2})(a^{19/2} + b^{5/2})$
Ответ: $a^{19} - b^5 = (a^{19/2})^2 - (b^{5/2})^2 = (a^{19/2} - b^{5/2})(a^{19/2} + b^{5/2})$.

б) Чтобы представить данное выражение в виде разности кубов, мы должны найти такие выражения $X$ и $Y$, что $X^3 = a^{19}$ и $Y^3 = b^5$.
$X = (a^{19})^{1/3} = a^{19/3}$
$Y = (b^{5})^{1/3} = b^{5/3}$
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(a^{19/3})^3 - (b^{5/3})^3$. Теперь разложим его на множители по формуле разности кубов $X^3 - Y^3 = (X - Y)(X^2 + XY + Y^2)$:
$(a^{19/3} - b^{5/3})((a^{19/3})^2 + a^{19/3}b^{5/3} + (b^{5/3})^2) = (a^{19/3} - b^{5/3})(a^{38/3} + a^{19/3}b^{5/3} + b^{10/3})$
Ответ: $a^{19} - b^5 = (a^{19/3})^3 - (b^{5/3})^3 = (a^{19/3} - b^{5/3})(a^{38/3} + a^{19/3}b^{5/3} + b^{10/3})$.

2) $x^{\frac{4}{5}} - y^{\frac{3}{7}}$

а) Представим выражение в виде разности квадратов. Для этого найдем $X$ и $Y$, такие что $X^2 = x^{4/5}$ и $Y^2 = y^{3/7}$.
$X = (x^{4/5})^{1/2} = x^{4/5 \cdot 1/2} = x^{2/5}$
$Y = (y^{3/7})^{1/2} = y^{3/7 \cdot 1/2} = y^{3/14}$
Тогда выражение принимает вид $(x^{2/5})^2 - (y^{3/14})^2$. Разложим на множители по формуле разности квадратов:
$(x^{2/5} - y^{3/14})(x^{2/5} + y^{3/14})$
Ответ: $x^{\frac{4}{5}} - y^{\frac{3}{7}} = (x^{2/5})^2 - (y^{3/14})^2 = (x^{2/5} - y^{3/14})(x^{2/5} + y^{3/14})$.

б) Представим выражение в виде разности кубов. Для этого найдем $X$ и $Y$, такие что $X^3 = x^{4/5}$ и $Y^3 = y^{3/7}$.
$X = (x^{4/5})^{1/3} = x^{4/5 \cdot 1/3} = x^{4/15}$
$Y = (y^{3/7})^{1/3} = y^{3/7 \cdot 1/3} = y^{3/21} = y^{1/7}$
Тогда выражение принимает вид $(x^{4/15})^3 - (y^{1/7})^3$. Разложим на множители по формуле разности кубов:
$(x^{4/15} - y^{1/7})((x^{4/15})^2 + x^{4/15}y^{1/7} + (y^{1/7})^2) = (x^{4/15} - y^{1/7})(x^{8/15} + x^{4/15}y^{1/7} + y^{2/7})$
Ответ: $x^{\frac{4}{5}} - y^{\frac{3}{7}} = (x^{4/15})^3 - (y^{1/7})^3 = (x^{4/15} - y^{1/7})(x^{8/15} + x^{4/15}y^{1/7} + y^{2/7})$.

3) $x^{\frac{1}{3}} - 5$

а) Представим выражение в виде разности квадратов.
$X^2 = x^{1/3} \implies X = (x^{1/3})^{1/2} = x^{1/6}$
$Y^2 = 5 \implies Y = \sqrt{5}$
Получаем: $(x^{1/6})^2 - (\sqrt{5})^2$. Разложение на множители:
$(x^{1/6} - \sqrt{5})(x^{1/6} + \sqrt{5})$
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 5 = (x^{1/6})^2 - (\sqrt{5})^2 = (x^{1/6} - \sqrt{5})(x^{1/6} + \sqrt{5})$.

б) Представим выражение в виде разности кубов.
$X^3 = x^{1/3} \implies X = (x^{1/3})^{1/3} = x^{1/9}$
$Y^3 = 5 \implies Y = \sqrt[3]{5}$
Получаем: $(x^{1/9})^3 - (\sqrt[3]{5})^3$. Разложение на множители:
$(x^{1/9} - \sqrt[3]{5})((x^{1/9})^2 + x^{1/9}\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2) = (x^{1/9} - \sqrt[3]{5})(x^{2/9} + \sqrt[3]{5}x^{1/9} + \sqrt[3]{25})$
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 5 = (x^{1/9})^3 - (\sqrt[3]{5})^3 = (x^{1/9} - \sqrt[3]{5})(x^{2/9} + \sqrt[3]{5}x^{1/9} + \sqrt[3]{25})$.

4) $x^{\frac{5}{11}} - y^{\frac{1}{5}}$

а) Представим выражение в виде разности квадратов.
$X^2 = x^{5/11} \implies X = (x^{5/11})^{1/2} = x^{5/22}$
$Y^2 = y^{1/5} \implies Y = (y^{1/5})^{1/2} = y^{1/10}$
Получаем: $(x^{5/22})^2 - (y^{1/10})^2$. Разложение на множители:
$(x^{5/22} - y^{1/10})(x^{5/22} + y^{1/10})$
Ответ: $x^{\frac{5}{11}} - y^{\frac{1}{5}} = (x^{5/22})^2 - (y^{1/10})^2 = (x^{5/22} - y^{1/10})(x^{5/22} + y^{1/10})$.

б) Представим выражение в виде разности кубов.
$X^3 = x^{5/11} \implies X = (x^{5/11})^{1/3} = x^{5/33}$
$Y^3 = y^{1/5} \implies Y = (y^{1/5})^{1/3} = y^{1/15}$
Получаем: $(x^{5/33})^3 - (y^{1/15})^3$. Разложение на множители:
$(x^{5/33} - y^{1/15})((x^{5/33})^2 + x^{5/33}y^{1/15} + (y^{1/15})^2) = (x^{5/33} - y^{1/15})(x^{10/33} + x^{5/33}y^{1/15} + y^{2/15})$
Ответ: $x^{\frac{5}{11}} - y^{\frac{1}{5}} = (x^{5/33})^3 - (y^{1/15})^3 = (x^{5/33} - y^{1/15})(x^{10/33} + x^{5/33}y^{1/15} + y^{2/15})$.

120. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $x - 5x^{\frac{1}{3}};$

2) $m^{\frac{2}{5}}n - n^{\frac{2}{5}}m;$

3) $10^{\frac{2}{5}} - 15^{\frac{2}{5}};$

4) $6a^{\frac{2}{3}} + 9a^{\frac{5}{6}};$

5) $x^{\frac{1}{5}} - 5x^{\frac{1}{6}};$

6) $x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}} - xy + x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}}.$

1) Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $x - 5x^{\frac{1}{3}}$, необходимо найти переменную в наименьшей степени. В данном выражении это $x^{\frac{1}{3}}$. Выносим этот множитель за скобки, разделив на него каждый член выражения:
$x - 5x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{x^1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{5x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = x^{\frac{1}{3}}(x^{1-\frac{1}{3}} - 5x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}) = x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} - 5x^0) = x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} - 5)$.
Ответ: $x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{2}{3}} - 5)$.

2) В выражении $m^{\frac{2}{5}}n - n^{\frac{2}{5}}m$ общими множителями являются $m$ и $n$. Для каждой переменной выбираем наименьшую степень. Для $m$ наименьшая степень это $\frac{2}{5}$, а для $n$ — также $\frac{2}{5}$. Таким образом, общий множитель — $m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}$. Вынесем его за скобки:
$m^{\frac{2}{5}}n - n^{\frac{2}{5}}m = m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}(\frac{m^{\frac{2}{5}}n^1}{m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}} - \frac{n^{\frac{2}{5}}m^1}{m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}}) = m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}(n^{1-\frac{2}{5}} - m^{1-\frac{2}{5}}) = m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}(n^{\frac{3}{5}} - m^{\frac{3}{5}})$.
Ответ: $m^{\frac{2}{5}}n^{\frac{2}{5}}(n^{\frac{3}{5}} - m^{\frac{3}{5}})$.

3) Для выражения $10^{\frac{2}{5}} - 15^{\frac{2}{5}}$ сначала разложим основания степеней $10$ и $15$ на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$ и $15 = 3 \cdot 5$.
Тогда выражение примет вид: $(2 \cdot 5)^{\frac{2}{5}} - (3 \cdot 5)^{\frac{2}{5}}$.
Используя свойство степени $(ab)^c = a^c b^c$, получаем: $2^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}} - 3^{\frac{2}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{5}}$.
Теперь видно, что общий множитель это $5^{\frac{2}{5}}$. Вынесем его за скобки:
$5^{\frac{2}{5}}(2^{\frac{2}{5}} - 3^{\frac{2}{5}})$.
Ответ: $5^{\frac{2}{5}}(2^{\frac{2}{5}} - 3^{\frac{2}{5}})$.

4) В выражении $6a^{\frac{2}{3}} + 9a^{\frac{5}{6}}$ найдем общий множитель для числовых коэффициентов и для переменной. Наибольший общий делитель для 6 и 9 — это 3. Для переменной $a$ нужно выбрать наименьшую степень. Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Так как $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, наименьшая степень — $\frac{2}{3}$.
Общий множитель — $3a^{\frac{2}{3}}$. Вынесем его за скобки:
$6a^{\frac{2}{3}} + 9a^{\frac{5}{6}} = 3a^{\frac{2}{3}}(\frac{6a^{\frac{2}{3}}}{3a^{\frac{2}{3}}} + \frac{9a^{\frac{5}{6}}}{3a^{\frac{2}{3}}}) = 3a^{\frac{2}{3}}(2 + 3a^{\frac{5}{6}-\frac{2}{3}}) = 3a^{\frac{2}{3}}(2 + 3a^{\frac{5}{6}-\frac{4}{6}}) = 3a^{\frac{2}{3}}(2 + 3a^{\frac{1}{6}})$.
Ответ: $3a^{\frac{2}{3}}(2 + 3a^{\frac{1}{6}})$.

5) В выражении $x^{\frac{1}{5}} - 5x^{\frac{1}{6}}$ общим множителем является переменная $x$ в наименьшей степени. Сравним дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$. Приведя к общему знаменателю 30, получим $\frac{6}{30}$ и $\frac{5}{30}$. Наименьшая степень — $\frac{1}{6}$.
Вынесем за скобки $x^{\frac{1}{6}}$:
$x^{\frac{1}{5}} - 5x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{6}}(\frac{x^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{6}}} - \frac{5x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{6}}}) = x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} - 5) = x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{6-5}{30}} - 5) = x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{1}{30}} - 5)$.
Ответ: $x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{1}{30}} - 5)$.

6) В выражении $x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}} - xy + x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}}$ найдем общий множитель для всех трех слагаемых. Для переменной $x$ степени равны $\frac{3}{8}$, $1$ и $\frac{5}{8}$. Наименьшая из них — $\frac{3}{8}$. Для переменной $y$ степени равны $\frac{1}{4}$, $1$ и $\frac{3}{4}$. Наименьшая из них — $\frac{1}{4}$.
Следовательно, общий множитель — $x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}$. Вынесем его за скобки:
$x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(\frac{x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}} - \frac{xy}{x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}} + \frac{x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}}) = x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(1 - x^{1-\frac{3}{8}}y^{1-\frac{1}{4}} + x^{\frac{5}{8}-\frac{3}{8}}y^{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}) = x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(1 - x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{2}{8}}y^{\frac{2}{4}}) = x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(1 - x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}})$.
Ответ: $x^{\frac{3}{8}}y^{\frac{1}{4}}(1 - x^{\frac{5}{8}}y^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}})$.

121. Сократите дробь:

1) $\frac{m + 4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}} + 4}$;

2) $\frac{7b^{\frac{4}{9}}}{b^{\frac{7}{12}} - b^{\frac{4}{9}}}$;

3) $\frac{49a - 4b}{7a^{0,5} + 2b^{0,5}}$;

4) $\frac{m - m^{0,5}n^{0,5} + n}{m^{1,5} + n^{1,5}}$;

5) $\frac{a - 6a^{0,5}b^{0,5} + 9b}{a^{3}b^{2,5} - 3a^{2,5}b^{3}}$;

6) $\frac{4m - m^{\frac{3}{4}}}{4m^{\frac{5}{4}} - m}$;

7) $\frac{a^{\frac{2}{3}} - 16}{a - 64}$;

8) $\frac{p - 7p^{\frac{7}{9}}}{p - 49p^{\frac{5}{9}}}$;

9) $\frac{1^{\frac{1}{54}} + 4^{\frac{1}{54}}}{1^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{4}}}$.

1) Исходная дробь: $\frac{m + 4m^{\frac{5}{8}}}{m^{\frac{3}{8}} + 4}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{5}{8}}$. Для этого представим $m$ как $m^1 = m^{\frac{8}{8}}$.
$m + 4m^{\frac{5}{8}} = m^{\frac{8}{8}} + 4m^{\frac{5}{8}} = m^{\frac{5}{8}}(m^{\frac{8}{8} - \frac{5}{8}} + 4) = m^{\frac{5}{8}}(m^{\frac{3}{8}} + 4)$.
Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{m^{\frac{5}{8}}(m^{\frac{3}{8}} + 4)}{m^{\frac{3}{8}} + 4}$.
Сократим дробь на общий множитель $(m^{\frac{3}{8}} + 4)$:
$m^{\frac{5}{8}}$.
Ответ: $m^{\frac{5}{8}}$.

2) Исходная дробь: $\frac{7b^{\frac{4}{9}}}{b^{\frac{7}{12}} - b^{\frac{4}{9}}}$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель со степенью с наименьшим показателем. Сравним показатели $\frac{7}{12}$ и $\frac{4}{9}$. Приведя к общему знаменателю 36, получим $\frac{21}{36}$ и $\frac{16}{36}$. Наименьший показатель - $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$. Выносим $b^{\frac{4}{9}}$ за скобки.
$b^{\frac{7}{12}} - b^{\frac{4}{9}} = b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{7}{12} - \frac{4}{9}} - 1) = b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{21-16}{36}} - 1) = b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{5}{36}} - 1)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{7b^{\frac{4}{9}}}{b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{5}{36}} - 1)}$.
Сократим дробь на $b^{\frac{4}{9}}$:
$\frac{7}{b^{\frac{5}{36}} - 1}$.
Ответ: $\frac{7}{b^{\frac{5}{36}} - 1}$.

3) Исходная дробь: $\frac{49a - 4b}{7a^{0.5} + 2b^{0.5}}$.
Числитель дроби является разностью квадратов. Представим $49a = (7a^{0.5})^2$ и $4b = (2b^{0.5})^2$.
$49a - 4b = (7a^{0.5})^2 - (2b^{0.5})^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(7a^{0.5} - 2b^{0.5})(7a^{0.5} + 2b^{0.5})$.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$\frac{(7a^{0.5} - 2b^{0.5})(7a^{0.5} + 2b^{0.5})}{7a^{0.5} + 2b^{0.5}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(7a^{0.5} + 2b^{0.5})$:
$7a^{0.5} - 2b^{0.5}$.
Ответ: $7a^{0.5} - 2b^{0.5}$.

4) Исходная дробь: $\frac{m - m^{0.5}n^{0.5} + n}{m^{1.5} + n^{1.5}}$.
Знаменатель дроби является суммой кубов. Представим $m^{1.5} = (m^{0.5})^3$ и $n^{1.5} = (n^{0.5})^3$.
$m^{1.5} + n^{1.5} = (m^{0.5})^3 + (n^{0.5})^3$.
Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:
$(m^{0.5} + n^{0.5})((m^{0.5})^2 - m^{0.5}n^{0.5} + (n^{0.5})^2) = (m^{0.5} + n^{0.5})(m - m^{0.5}n^{0.5} + n)$.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{m - m^{0.5}n^{0.5} + n}{(m^{0.5} + n^{0.5})(m - m^{0.5}n^{0.5} + n)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(m - m^{0.5}n^{0.5} + n)$:
$\frac{1}{m^{0.5} + n^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{1}{m^{0.5} + n^{0.5}}$.

5) Исходная дробь: $\frac{a - 6a^{0.5}b^{0.5} + 9b}{a^3b^{2.5} - 3a^{2.5}b^3}$.
Числитель является полным квадратом разности. Представим $a = (a^{0.5})^2$, $9b = (3b^{0.5})^2$, и $6a^{0.5}b^{0.5} = 2 \cdot a^{0.5} \cdot 3b^{0.5}$.
$a - 6a^{0.5}b^{0.5} + 9b = (a^{0.5})^2 - 2 \cdot a^{0.5} \cdot 3b^{0.5} + (3b^{0.5})^2 = (a^{0.5} - 3b^{0.5})^2$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{2.5}b^{2.5}$:
$a^3b^{2.5} - 3a^{2.5}b^3 = a^{2.5}b^{2.5}(a^{3-2.5} - 3b^{3-2.5}) = a^{2.5}b^{2.5}(a^{0.5} - 3b^{0.5})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{(a^{0.5} - 3b^{0.5})^2}{a^{2.5}b^{2.5}(a^{0.5} - 3b^{0.5})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{0.5} - 3b^{0.5})$:
$\frac{a^{0.5} - 3b^{0.5}}{a^{2.5}b^{2.5}}$.
Ответ: $\frac{a^{0.5} - 3b^{0.5}}{a^{2.5}b^{2.5}}$.

6) Исходная дробь: $\frac{4m - m^{\frac{3}{4}}}{4m^{\frac{5}{4}} - m}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{3}{4}}$:
$4m - m^{\frac{3}{4}} = 4m^{\frac{4}{4}} - m^{\frac{3}{4}} = m^{\frac{3}{4}}(4m^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}} - 1) = m^{\frac{3}{4}}(4m^{\frac{1}{4}} - 1)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $m$ (или $m^1$):
$4m^{\frac{5}{4}} - m = m(4m^{\frac{5}{4}-1} - 1) = m(4m^{\frac{1}{4}} - 1)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{m^{\frac{3}{4}}(4m^{\frac{1}{4}} - 1)}{m(4m^{\frac{1}{4}} - 1)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(4m^{\frac{1}{4}} - 1)$:
$\frac{m^{\frac{3}{4}}}{m} = m^{\frac{3}{4} - 1} = m^{-\frac{1}{4}}$.
Ответ: $m^{-\frac{1}{4}}$.

7) Исходная дробь: $\frac{a^{\frac{2}{3}} - 16}{a - 64}$.
Числитель является разностью квадратов: $a^{\frac{2}{3}} - 16 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 4^2 = (a^{\frac{1}{3}} - 4)(a^{\frac{1}{3}} + 4)$.
Знаменатель является разностью кубов: $a - 64 = (a^{\frac{1}{3}})^3 - 4^3 = (a^{\frac{1}{3}} - 4)((a^{\frac{1}{3}})^2 + 4a^{\frac{1}{3}} + 4^2) = (a^{\frac{1}{3}} - 4)(a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}} + 16)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}} - 4)(a^{\frac{1}{3}} + 4)}{(a^{\frac{1}{3}} - 4)(a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}} + 16)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} - 4)$:
$\frac{a^{\frac{1}{3}} + 4}{a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}} + 16}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{3}} + 4}{a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}} + 16}$.

8) Исходная дробь: $\frac{p - 7p^{\frac{7}{9}}}{p - 49p^{\frac{5}{9}}}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $p^{\frac{7}{9}}$:
$p - 7p^{\frac{7}{9}} = p^{\frac{9}{9}} - 7p^{\frac{7}{9}} = p^{\frac{7}{9}}(p^{\frac{9}{9}-\frac{7}{9}} - 7) = p^{\frac{7}{9}}(p^{\frac{2}{9}} - 7)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $p^{\frac{5}{9}}$:
$p - 49p^{\frac{5}{9}} = p^{\frac{9}{9}} - 49p^{\frac{5}{9}} = p^{\frac{5}{9}}(p^{\frac{9}{9}-\frac{5}{9}} - 49) = p^{\frac{5}{9}}(p^{\frac{4}{9}} - 49)$.
Выражение в скобках $(p^{\frac{4}{9}} - 49)$ является разностью квадратов: $(p^{\frac{2}{9}})^2 - 7^2 = (p^{\frac{2}{9}} - 7)(p^{\frac{2}{9}} + 7)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{p^{\frac{7}{9}}(p^{\frac{2}{9}} - 7)}{p^{\frac{5}{9}}(p^{\frac{2}{9}} - 7)(p^{\frac{2}{9}} + 7)}$.
Сократим дробь на $(p^{\frac{2}{9}} - 7)$ и упростим степени $p$:
$\frac{p^{\frac{7}{9}}}{p^{\frac{5}{9}}(p^{\frac{2}{9}} + 7)} = \frac{p^{\frac{7}{9}-\frac{5}{9}}}{p^{\frac{2}{9}} + 7} = \frac{p^{\frac{2}{9}}}{p^{\frac{2}{9}} + 7}$.
Ответ: $\frac{p^{\frac{2}{9}}}{p^{\frac{2}{9}} + 7}$.

9) Исходная дробь: $\frac{15^{\frac{1}{4}} + 45^{\frac{1}{4}}}{10^{\frac{1}{4}} + 30^{\frac{1}{4}}}$.
В числителе представим $45 = 3 \cdot 15$ и вынесем за скобки общий множитель $15^{\frac{1}{4}}$:
$15^{\frac{1}{4}} + (3 \cdot 15)^{\frac{1}{4}} = 15^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{4}} \cdot 15^{\frac{1}{4}} = 15^{\frac{1}{4}}(1 + 3^{\frac{1}{4}})$.
В знаменателе представим $30 = 3 \cdot 10$ и вынесем за скобки общий множитель $10^{\frac{1}{4}}$:
$10^{\frac{1}{4}} + (3 \cdot 10)^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{1}{4}} + 3^{\frac{1}{4}} \cdot 10^{\frac{1}{4}} = 10^{\frac{1}{4}}(1 + 3^{\frac{1}{4}})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{15^{\frac{1}{4}}(1 + 3^{\frac{1}{4}})}{10^{\frac{1}{4}}(1 + 3^{\frac{1}{4}})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(1 + 3^{\frac{1}{4}})$:
$\frac{15^{\frac{1}{4}}}{10^{\frac{1}{4}}} = (\frac{15}{10})^{\frac{1}{4}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $(\frac{3}{2})^{\frac{1}{4}}$.