Страница 15 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = -x^5, \\ y = 3 - x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^{-4}, \\ y = \sqrt{x - 3}. \end{cases}$

1)

Чтобы определить графически количество решений системы уравнений, нужно построить графики функций $y = -x^{-5}$ и $y = 3 - x$ в одной системе координат и найти количество точек их пересечения.

Функция $y = -x^{-5}$, или $y = - \frac{1}{x^5}$.

• Область определения: $x \neq 0$.
• График состоит из двух ветвей, расположенных во второй и четвертой координатных четвертях.
• Оси координат являются асимптотами: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.
• Функция является строго возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Функция $y = 3 - x$.

• Графиком является прямая линия.
• Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=3$; если $y=0$, то $x=3$. Прямая проходит через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
• Функция является строго убывающей на всей числовой прямой.

Теперь проанализируем пересечение графиков.

На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y = -1/x^5$ возрастает (ее значения изменяются от $0$ до $+\infty$), а функция $y = 3 - x$ убывает (значения от $+\infty$ до $3$). Поскольку одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза. Так как при $x \to -\infty$ значения прямой больше значений кривой ($y_{прямая} \to +\infty$, а $y_{кривая} \to 0$), а при $x \to 0^-$ значения кривой больше значений прямой ($y_{кривая} \to +\infty$, а $y_{прямая} \to 3$), то графики обязательно пересекутся в одной точке на этом промежутке.

На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y = -1/x^5$ возрастает (значения от $-\infty$ до $0$), а функция $y = 3 - x$ убывает (значения от $3$ до $-\infty$). По аналогичной причине, здесь также будет ровно одна точка пересечения. При $x \to 0^+$ прямая находится выше кривой ($y_{прямая} \to 3$, а $y_{кривая} \to -\infty$), а при $x \to +\infty$ кривая оказывается выше прямой ($y_{кривая} \to 0$, а $y_{прямая} \to -\infty$).

Следовательно, всего существует две точки пересечения графиков.

Ответ: 2.

2)

Определим количество решений системы, построив графики функций $y = x^{-4}$ и $y = \sqrt{x-3}$ и найдя количество точек их пересечения.

Функция $y = x^{-4}$, или $y = \frac{1}{x^4}$.

• Область определения: $x \neq 0$.
• Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $y > 0$. График расположен в первой и второй координатных четвертях.
• Функция четная, ее график симметричен относительно оси OY.
• Асимптоты: $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX).

Функция $y = \sqrt{x-3}$.

• Область определения: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
• Графиком является верхняя ветвь параболы, смещенная на 3 единицы вправо. Он начинается в точке $(3, 0)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.

Поскольку область определения второй функции $x \ge 3$, решения системы могут существовать только на этом промежутке.

На промежутке $[3, +\infty)$ функция $y = 1/x^4$ является убывающей, а функция $y = \sqrt{x-3}$ — возрастающей. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза.

Чтобы определить, существует ли точка пересечения, сравним значения функций в некоторых точках.

• При $x=3$: $y = 1/3^4 = 1/81$, а $y = \sqrt{3-3} = 0$. Здесь график $y=1/x^4$ находится выше.
• При $x=4$: $y = 1/4^4 = 1/256$, а $y = \sqrt{4-3} = 1$. Здесь график $y=\sqrt{x-3}$ находится выше.

Поскольку на отрезке $[3, 4]$ графики непрерывных функций поменялись относительным положением (сначала один был выше, потом стал ниже), они должны пересечься. Так как такое пересечение может быть только одно, система имеет ровно одно решение.

Ответ: 1.

67. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} x^3, \text{ если } x < 1, \\ x^{-3}, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции, а затем, анализируя его, найдём промежутки её возрастания и убывания.

1. Построение графика функции

Функция $f(x)$ задана двумя различными выражениями на двух промежутках: $f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{если } x < 1 \\ x^{-3}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построим график для каждого промежутка отдельно.

Для промежутка $x < 1$, строим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая проходит через начало координат. Найдём несколько контрольных точек:
- при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$;
- при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$;
- при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$.
На границе промежутка, в точке $x = 1$, значение функции стремится к $1^3 = 1$. Поскольку неравенство строгое ($x < 1$), точка с координатами $(1, 1)$ не будет принадлежать этой части графика (она будет "выколотой").

Для промежутка $x \ge 1$, строим график функции $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. Найдём несколько контрольных точек:
- при $x = 1$, $y = 1^{-3} = 1$;
- при $x = 2$, $y = 2^{-3} = \frac{1}{8}$.
Точка $(1, 1)$ принадлежит этой части графика (она будет закрашенной). Эта точка "закрывает" выколотую точку от первой части, поэтому функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x=1$. При увеличении $x$, значение $y$ стремится к нулю, поэтому ось абсцисс ($Ox$) является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

Совместив обе части на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график функции $f(x)$.

2. Нахождение промежутков возрастания и убывания

Проанализируем построенный график функции $f(x)$.
- На промежутке $(-\infty, 1]$ график функции поднимается вверх при движении слева направо. Это означает, что на этом промежутке функция возрастает.
- На промежутке $[1, \infty)$ график функции опускается вниз при движении слева направо. Это означает, что на этом промежутке функция убывает.
Точка $x=1$ является точкой максимума функции.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 1]$; промежуток убывания: $[1, \infty)$.

68. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-12) < f(-16)$;

2) $f(-12) \le f(16)$;

3) $f(-12) > f(-16)$;

4) $f(16) < f(12)$?

Для решения задачи проанализируем свойства функции $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число, в зависимости от чётности $n$.

Случай 1: $n$ — чётное натуральное число.
В этом случае функция $f(x)$ является чётной, так как $f(-x) = (-x)^{-n} = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{x^n} = f(x)$. Значения функции всегда положительны при $x \neq 0$. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция является возрастающей (если $x_1 < x_2 < 0$, то $f(x_1) < f(x_2)$). На промежутке $(0, \infty)$ функция является убывающей (если $0 < x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$).

Случай 2: $n$ — нечётное натуральное число.
В этом случае функция $f(x)$ является нечётной, так как $f(-x) = (-x)^{-n} = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{-x^n} = -f(x)$. При $x < 0$ значения функции отрицательны, а при $x > 0$ — положительны. Функция является убывающей на всей области определения (на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$). То есть, если $x_1$ и $x_2$ находятся в одном промежутке и $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Теперь рассмотрим каждое условие отдельно.

1) f(-12) < f(-16)

Мы сравниваем значения функции в точках $x_1 = -16$ и $x_2 = -12$. Так как $-16 < -12$, мы находимся на промежутке $(-\infty, 0)$.

• Если $n$ — чётное, то функция на этом промежутке возрастает. Следовательно, из $-16 < -12$ должно следовать $f(-16) < f(-12)$. Это противоречит условию $f(-12) < f(-16)$.
• Если $n$ — нечётное, то функция на этом промежутке убывает. Следовательно, из $-16 < -12$ должно следовать $f(-16) > f(-12)$, что эквивалентно $f(-12) < f(-16)$. Это совпадает с условием.

Таким образом, число $n$ должно быть нечётным.

Ответ: нечётным.

2) f(-12) ≤ f(16)

• Если $n$ — чётное, функция является чётной, поэтому $f(-12) = f(12)$. Условие принимает вид $f(12) \le f(16)$. На промежутке $(0, \infty)$ функция убывает, поэтому из $12 < 16$ следует $f(12) > f(16)$. Это противоречит условию $f(12) \le f(16)$.
• Если $n$ — нечётное, функция является нечётной, поэтому $f(-12) = -f(12)$. Условие принимает вид $-f(12) \le f(16)$. Поскольку для $x > 0$ значения функции положительны, имеем $f(12) > 0$ и $f(16) > 0$. Неравенство $-f(12) \le f(16)$ всегда верно, так как отрицательное число (или ноль) всегда меньше или равно положительному числу.

Таким образом, число $n$ должно быть нечётным.

Ответ: нечётным.

3) f(-12) > f(-16)

Мы снова сравниваем значения функции в точках $x_1 = -16$ и $x_2 = -12$, где $-16 < -12$.

• Если $n$ — чётное, функция на промежутке $(-\infty, 0)$ возрастает. Следовательно, из $-16 < -12$ следует $f(-16) < f(-12)$, что эквивалентно $f(-12) > f(-16)$. Это совпадает с условием.
• Если $n$ — нечётное, функция на этом промежутке убывает. Следовательно, из $-16 < -12$ следует $f(-16) > f(-12)$. Это противоречит условию $f(-12) > f(-16)$.

Таким образом, число $n$ должно быть чётным.

Ответ: чётным.

4) f(16) < f(12)?

Мы сравниваем значения функции в точках $x_1 = 12$ и $x_2 = 16$. Так как $12 < 16$, мы находимся на промежутке $(0, \infty)$.

• Если $n$ — чётное, функция на этом промежутке убывает. Следовательно, из $12 < 16$ следует $f(12) > f(16)$, что эквивалентно $f(16) < f(12)$. Условие выполняется.
• Если $n$ — нечётное, функция на этом промежутке также убывает. Следовательно, из $12 < 16$ следует $f(12) > f(16)$, что эквивалентно $f(16) < f(12)$. Условие также выполняется.

Неравенство $f(16) < f(12)$ можно записать как $\frac{1}{16^n} < \frac{1}{12^n}$. Это неравенство равносильно $12^n < 16^n$, что верно для любого натурального числа $n$, так как основание показательной функции больше 1, а $12 < 16$. Следовательно, данное условие выполняется при любом натуральном $n$, как чётном, так и нечётном.

Ответ: по данному условию определить чётность $n$ невозможно.

69. Найдите значение корня:

1) $\sqrt[3]{64}$;

2) $\sqrt[4]{0,0001}$;

3) $\sqrt[5]{-32}$;

4) $\sqrt[3]{2\frac{10}{27}}$;

5) $-5\sqrt[5]{-0,00243}$.

1) Чтобы найти значение кубического корня из 64, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень равно 64. Мы знаем, что $4 \cdot 4 = 16$, и $16 \cdot 4 = 64$. Таким образом, $4^3 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[3]{64} = 4$.
Ответ: 4.

2) Чтобы найти значение корня четвертой степени из 0,0001, нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 0,0001. Представим десятичную дробь 0,0001 как степень числа 0,1.
$0,1^4 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,0001$.
Следовательно, $\sqrt[4]{0,0001} = \sqrt[4]{(0,1)^4} = 0,1$.
Ответ: 0,1.

3) Чтобы найти значение корня пятой степени из -32, нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает -32. Так как показатель корня (5) является нечетным числом, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.
Мы знаем, что $2^5 = 32$. Тогда $(-2)^5 = -32$.
Следовательно, $\sqrt[5]{-32} = -2$.
Ответ: -2.

4) Сначала преобразуем смешанное число под знаком корня в неправильную дробь:
$2\frac{10}{27} = \frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = \frac{54 + 10}{27} = \frac{64}{27}$.
Теперь извлечем кубический корень из полученной дроби, используя свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[3]{2\frac{10}{27}} = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$.
Так как $4^3 = 64$ и $3^3 = 27$, получаем:
$\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

5) Выражение состоит из множителя -5 и корня пятой степени. Сначала найдем значение корня $\sqrt[5]{-0,00243}$.
Показатель корня (5) нечетный, поэтому корень из отрицательного числа будет отрицательным.
Найдем число, пятая степень которого равна 0,00243. Мы знаем, что $3^5 = 243$. Так как подкоренное число имеет 5 знаков после запятой, искомое число будет иметь один знак после запятой.
Проверим: $(-0,3)^5 = -0,00243$.
Значит, $\sqrt[5]{-0,00243} = -0,3$.
Теперь умножим полученный результат на -5:
$-5 \cdot \sqrt[5]{-0,00243} = -5 \cdot (-0,3) = 1,5$.
Ответ: 1,5.

70. Вычислите:

1) $0,2 \sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5} \sqrt[4]{625};$

2) $\sqrt[7]{-128} + 3(\sqrt[5]{9})^5 - 4\sqrt[8]{256};$

3) $4(-\sqrt[8]{6})^8 - 0,8\sqrt[4]{10000} + \left(\frac{1}{3}\sqrt[3]{270}\right)^3;$

4) $4\sqrt{2\frac{113}{256}} \cdot 3\sqrt[3]{-\frac{8}{125}} + (-2\sqrt{7})^2 - (-\sqrt[9]{11})^9.$

1) $0,2\sqrt[3]{1000} - \frac{3}{5}\sqrt[4]{625}$

Для решения данного выражения вычислим значения корней:

$\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10$

$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$0,2 \cdot 10 - \frac{3}{5} \cdot 5 = 2 - 3 = -1$.

Ответ: -1

2) $\sqrt[7]{-128} + 3(\sqrt[5]{9})^5 - 4\sqrt[8]{256}$

Вычислим каждый член выражения по отдельности, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^n = a$:

1. $\sqrt[7]{-128} = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2$.

2. $3(\sqrt[5]{9})^5 = 3 \cdot 9 = 27$.

3. $\sqrt[8]{256} = \sqrt[8]{2^8} = 2$, следовательно $4\sqrt[8]{256} = 4 \cdot 2 = 8$.

Сложим и вычтем полученные значения:

$-2 + 27 - 8 = 25 - 8 = 17$.

Ответ: 17

3) $4(-\sqrt[8]{6})^8 - 0,84\sqrt[4]{10000} + (\frac{1}{3}\sqrt[3]{270})^3$

Вычислим каждый член выражения по отдельности:

1. $4(-\sqrt[8]{6})^8 = 4 \cdot (\sqrt[8]{6})^8 = 4 \cdot 6 = 24$, так как показатель степени 8 — чётное число, знак минус исчезает.

2. $0,84\sqrt[4]{10000} = 0,84 \cdot \sqrt[4]{10^4} = 0,84 \cdot 10 = 8,4$.

3. $(\frac{1}{3}\sqrt[3]{270})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{270})^3 = \frac{1}{27} \cdot 270 = \frac{270}{27} = 10$.

Выполним действия сложения и вычитания:

$24 - 8,4 + 10 = 15,6 + 10 = 25,6$.

Ответ: 25,6

4) $\sqrt[4]{2\frac{113}{256}} \cdot \sqrt[3]{-\frac{8}{125}} + (-2\sqrt{7})^2 - (-\sqrt[9]{11})^9$

Решим выражение по частям:

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и извлечём корень: $\sqrt[4]{2\frac{113}{256}} = \sqrt[4]{\frac{2 \cdot 256 + 113}{256}} = \sqrt[4]{\frac{512 + 113}{256}} = \sqrt[4]{\frac{625}{256}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{256}} = \frac{5}{4}$.

2. Извлечём кубический корень из отрицательной дроби: $\sqrt[3]{-\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{-2}{5}$.

3. Перемножим результаты первых двух шагов: $\frac{5}{4} \cdot (-\frac{2}{5}) = -\frac{10}{20} = -0,5$.

4. Возведём в квадрат: $(-2\sqrt{7})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$.

5. Возведём в нечётную степень и учтём знак: $-(-\sqrt[9]{11})^9 = -(-11) = 11$.

Сложим все полученные значения:

$-0,5 + 28 + 11 = -0,5 + 39 = 38,5$.

Ответ: 38,5

71. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[6]{-x - 1};$

2) $y = \sqrt[8]{-x^4};$

3) $y = \sqrt[3]{x - 4};$

4) $y = \sqrt[4]{5x - x^2};$

5) $y = \sqrt[4]{-12 + 8x - x^2};$

6) $y = \sqrt[10]{\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1}}.$

1) $y = \sqrt[6]{-x - 1}$

Область определения функции с корнем четной степени ($n=6$) определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-x - 1 \ge 0$

$-x \ge 1$

$x \le -1$

Следовательно, область определения функции — это промежуток $(-\infty, -1]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

2) $y = \sqrt[8]{-x^4}$

Поскольку корень четной степени ($n=8$), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-x^4 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^4 \le 0$

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Единственное значение $x$, при котором выполняется условие $x^4 \le 0$, — это $x=0$, так как в этом случае $0^4 = 0$.

Ответ: $\{0\}$.

3) $y = \sqrt[3]{x - 4}$

Корень нечетной степени ($n=3$) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Поэтому область определения функции совпадает с областью определения выражения $x-4$, то есть это все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) $y = \sqrt[4]{5x - x^2}$

Для корня четной степени ($n=4$) подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$5x - x^2 \ge 0$

$x(5 - x) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $x(5-x) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $x(5-x)$ в получившихся интервалах. Парабола $y=5x-x^2$ имеет ветви, направленные вниз, поэтому она принимает неотрицательные значения между корнями. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[0, 5]$.

Ответ: $x \in [0, 5]$.

5) $y = \sqrt[4]{-12 + 8x - x^2}$

Подкоренное выражение для корня четной степени ($n=4$) должно быть неотрицательным:

$-12 + 8x - x^2 \ge 0$

Умножим на $-1$ и изменим знак неравенства:

$x^2 - 8x + 12 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$. Корни: $x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2$; $x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6$. Парабола $y = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями.

Решением неравенства является отрезок $[2, 6]$.

Ответ: $x \in [2, 6]$.

6) $y = \sqrt[10]{\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1}}$

Область определения функции определяется двумя условиями: 1. Подкоренное выражение для корня четной степени ($n=10$) должно быть неотрицательным: $\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 1} \ge 0$. 2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \ne 0$.

Начнем со второго условия: $x^2 \ne 1$, откуда $x \ne 1$ и $x \ne -1$.

Теперь решим неравенство. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для числителя $x^2 + 8x - 9 = (x-1)(x+9)$. Для знаменателя $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x+9)}{(x-1)(x+1)} \ge 0$.

Сократим на $(x-1)$, учитывая, что $x \ne 1$: $\frac{x+9}{x+1} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -9$ и $x = -1$. Эти точки делят числовую прямую на интервалы $(-\infty, -9)$, $(-9, -1)$ и $(-1, +\infty)$. Выражение $\frac{x+9}{x+1}$ положительно на интервалах $(-\infty, -9)$ и $(-1, +\infty)$. В точке $x=-9$ числитель равен нулю, поэтому она входит в решение. Точка $x=-1$ исключается, так как в ней знаменатель равен нулю. Получаем множество $(-\infty, -9] \cup (-1, +\infty)$.

Также необходимо учесть первоначальное ограничение $x \ne 1$. Точка $1$ попадает в интервал $(-1, +\infty)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговая область определения: $(-\infty, -9] \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -9] \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.