Страница 9 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 5, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

$0 < t - x_0 < (1 - x_0)(S - x_1)$

Рис. 5

a

б

в

График функции $g$, обратной к функции $f$, симметричен графику функции $f$ относительно прямой $y=x$. Это означает, что для получения графика функции $g$ необходимо каждую точку $(x_0; y_0)$ графика функции $f$ заменить на точку $(y_0; x_0)$.

Рассмотрим график функции $f$ на рисунке 'а'. Выберем на нем несколько характерных точек: $(-1; 0,5)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; 4)$.

Чтобы получить точки, принадлежащие графику обратной функции $g$, поменяем в каждой паре координаты $x$ и $y$ местами. Получим точки для графика $g$: $(0,5; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$ и $(4; 2)$.

Исходная функция $f$ (показательная) имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox). Следовательно, график обратной функции $g$ будет иметь вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy). Соединив полученные точки плавной кривой с учётом асимптоты, получим график логарифмической функции.

Ответ: График обратной функции — логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1; 0)$, $(2; 1)$ и $(4; 2)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

Рассмотрим график функции $f$ на рисунке 'б'. Выберем на нем характерные точки: начальная точка $(-2; 0)$, а также точки $(-1; 1)$, $(2; 2)$ и $(7; 3)$.

Для построения графика обратной функции $g$ поменяем координаты в каждой точке. Получим точки для графика $g$: начальная точка $(0; -2)$, а также точки $(1; -1)$, $(2; 2)$ и $(3; 7)$.

Область определения функции $f$ — это $D(f) = [-2; +\infty)$, а область значений — $E(f) = [0; +\infty)$. Для обратной функции $g$ они меняются местами: область определения $D(g) = [0; +\infty)$ и область значений $E(g) = [-2; +\infty)$.

Соединив новые точки плавной кривой, получим график, который является правой ветвью параболы с вершиной в точке $(0; -2)$.

Ответ: График обратной функции — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0; -2)$, проходящая через точки $(1; -1)$ и $(2; 2)$.

График функции $f$ на рисунке 'в' — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Возьмем точки пересечения с осями координат: $(1; 0)$ и $(0; -2)$. Также на графике видна точка $(2; 2)$.

Для построения графика обратной функции $g$ поменяем координаты в этих точках. Получим точки: $(0; 1)$, $(-2; 0)$ и общую точку $(2; 2)$.

Проведя прямую через точки $(0; 1)$ и $(-2; 0)$, мы получим график обратной функции $g$. Это также будет прямая линия, симметричная исходной относительно прямой $y=x$.

Ответ: График обратной функции — это прямая, проходящая через точки $(-2; 0)$ и $(0; 1)$.

29. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y=0,5x-2$;

2) $y=x^2-4$, если $x \ge 0$.

1) $y = 0,5x - 2$

Данная функция $y = 0,5x - 2$ является линейной, ее график – прямая линия. Для построения найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.

Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.

Если $x = 4$, то $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(4; 0)$.

Теперь найдем функцию, обратную к данной. Для этого в уравнении $y = 0,5x - 2$ выразим $x$ через $y$, а затем поменяем переменные местами.

$0,5x = y + 2$

$x = 2(y + 2)$

$x = 2y + 4$

Поменяв $x$ и $y$ местами, получаем обратную функцию: $y = 2x + 4$.

График обратной функции также является прямой линией. Найдем две точки для ее построения.

Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Получаем точку $(0; 4)$.

Если $x = -2$, то $y = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0$. Получаем точку $(-2; 0)$.

Можно заметить, что координаты точек для обратной функции получаются путем перестановки координат соответствующих точек исходной функции: $(0; -2) \rightarrow (-2; 0)$ и $(4; 0) \rightarrow (0; 4)$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Таким образом, для построения в одной системе координат необходимо начертить прямую, проходящую через точки $(0; -2)$ и $(4; 0)$, и прямую, проходящую через точки $(-2; 0)$ и $(0; 4)$.

Ответ: Обратная функция: $y = 2x + 4$. Графики обеих функций — прямые линии, симметричные относительно прямой $y=x$. Прямая $y = 0,5x - 2$ проходит через точки $(0; -2)$ и $(4; 0)$. Прямая $y = 2x + 4$ проходит через точки $(-2; 0)$ и $(0; 4)$.

2) $y = x^2 - 4$, если $x \ge 0$

Данная функция $y = x^2 - 4$ с ограничением $x \ge 0$ представляет собой правую ветвь параболы, вершина которой находится в точке $(0; -4)$.

Найдем несколько точек для построения графика:

При $x = 0$, $y = 0^2 - 4 = -4$. Вершина в точке $(0; -4)$.

При $y = 0$, $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем $x = 2$. Точка пересечения с осью Ox: $(2; 0)$.

При $x = 3$, $y = 3^2 - 4 = 5$. Точка $(3; 5)$.

Область определения исходной функции $D(y) = [0; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-4; +\infty)$.

Теперь найдем обратную функцию. В уравнении $y = x^2 - 4$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 - 4$

Выразим $y$:

$y^2 = x + 4$

$y = \pm\sqrt{x + 4}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge -4$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \ge 0$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только положительный корень, следовательно, обратная функция имеет вид: $y = \sqrt{x + 4}$.

График функции $y = \sqrt{x + 4}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной исходной относительно прямой $y = x$.

Найдем несколько точек для построения графика обратной функции:

При $x = -4$, $y = \sqrt{-4 + 4} = 0$. Начальная точка $(-4; 0)$.

При $x = 0$, $y = \sqrt{0 + 4} = 2$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.

При $x = 5$, $y = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5; 3)$.

Таким образом, для построения в одной системе координат необходимо начертить правую ветвь параболы $y = x^2 - 4$, выходящую из точки $(0; -4)$ и проходящую через $(2; 0)$, и график функции $y = \sqrt{x + 4}$, выходящий из точки $(-4; 0)$ и проходящий через $(0; 2)$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x+4}$. График исходной функции — правая ветвь параболы $y = x^2-4$ с вершиной в $(0; -4)$ и областью определения $x \ge 0$. График обратной функции — ветвь параболы $y=\sqrt{x+4}$ с началом в точке $(-4; 0)$ и областью определения $x \ge -4$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

30. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 4 = 12$ и $\frac{1}{4}x = 2$

2) $x = 2$ и $x^2 = 4$

3) $x^2 = -12x$ и $x = -12$

4) $\sqrt{x - 2} = -1$ и $|x - 2| = -1$

5) $x + 16 = x + 16$ и $\frac{x^6 + 64}{x^6 + 64} = 1$

6) $x + 2 = x + 2$ и $\frac{x + 2}{x + 2} = 1$

7) $x^2 + 6x + 9 = 0$ и $x + 3 = 0$

8) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 0$ и $x - 3 = 0$

9) $x\sqrt{x + 2} = 0$ и $(x + 2)\sqrt{x} = 0$

10) $\sqrt{x - 1}\sqrt{x + 2} = 0$ и $\sqrt{(x - 1)(x + 2)} = 0?$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Это также означает, что если одно уравнение не имеет решений, то и другое не должно иметь решений.

1) Решим первое уравнение: $x + 4 = 12$. Перенесем 4 в правую часть: $x = 12 - 4$, откуда $x = 8$. Корень уравнения: 8.

Решим второе уравнение: $\frac{1}{4}x = 2$. Умножим обе части на 4: $x = 2 \cdot 4$, откуда $x = 8$. Корень уравнения: 8.

Множества решений обоих уравнений совпадают ({8}). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

2) Первое уравнение $x = 2$ имеет единственный корень: 2.

Второе уравнение $x^2 = 4$ имеет два корня: $x = \sqrt{4}$ и $x = -\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Множества решений не совпадают ({2} и {-2, 2}). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

3) Решим первое уравнение: $x^2 = -12x$. Перенесем все в левую часть: $x^2 + 12x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 12) = 0$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -12$.

Второе уравнение $x = -12$ имеет единственный корень: -12.

Множества решений не совпадают ({0, -12} и {-12}). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

4) В первом уравнении $\sqrt{x-2} = -1$ левая часть (арифметический квадратный корень) по определению не может быть отрицательной. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Во втором уравнении $|x-2| = -1$ левая часть (модуль числа) по определению не может быть отрицательной. Следовательно, это уравнение также не имеет решений.

Множества решений обоих уравнений пусты (∅), значит, они совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

5) Первое уравнение $x + 16 = x + 16$ является тождеством, верным для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Второе уравнение $\frac{x^6 + 64}{x^6 + 64} = 1$ также является тождеством, но нужно проверить область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^6 + 64 \neq 0$. Так как $x^6 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^6 + 64 \geq 64$. Знаменатель никогда не равен нулю. Таким образом, это уравнение тоже верно для любого действительного числа $x$.

Множества решений обоих уравнений совпадают ($\mathbb{R}$). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

6) Первое уравнение $x + 2 = x + 2$ является тождеством, верным для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Для второго уравнения $\frac{x+2}{x+2} = 1$ необходимо учесть ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$. Для всех $x$, кроме -2, уравнение верно. Таким образом, множество его решений — все действительные числа, кроме -2.

Множества решений не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

7) Левая часть первого уравнения $x^2 + 6x + 9 = 0$ является полным квадратом: $(x+3)^2 = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x = -3$.

Второе уравнение $x + 3 = 0$ также имеет единственный корень $x = -3$.

Множества решений совпадают ({-3}). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

8) Решим первое уравнение $\frac{x^2 - 5x + 6}{x-2} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Приравняем числитель к нулю: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Проверим ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, поэтому единственным решением является $x = 3$.

Второе уравнение $x - 3 = 0$ имеет единственный корень $x = 3$.

Множества решений совпадают ({3}). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

9) Для первого уравнения $x\sqrt{x+2} = 0$ ОДЗ определяется подкоренным выражением: $x+2 \geq 0$, то есть $x \geq -2$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x=0$ или $\sqrt{x+2}=0$. Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ. Из $\sqrt{x+2}=0$ следует $x+2=0$, то есть $x=-2$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ. Решения: -2 и 0.

Для второго уравнения $(x+2)\sqrt{x} = 0$ ОДЗ: $x \geq 0$. Произведение равно нулю, если $x+2=0$ или $\sqrt{x}=0$. Из $x+2=0$ следует $x=-2$, что не удовлетворяет ОДЗ ($x \geq 0$). Из $\sqrt{x}=0$ следует $x=0$, что удовлетворяет ОДЗ. Единственное решение: 0.

Множества решений не совпадают ({-2, 0} и {0}). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

10) Для первого уравнения $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+2} = 0$ ОДЗ требует, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны: $x-1 \geq 0$ и $x+2 \geq 0$. Решая систему неравенств, получаем $x \geq 1$. Произведение равно нулю, если $\sqrt{x-1}=0$ (то есть $x=1$) или $\sqrt{x+2}=0$ (то есть $x=-2$). Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ, а $x=-2$ — нет. Единственное решение: 1.

Для второго уравнения $\sqrt{(x-1)(x+2)} = 0$ ОДЗ требует, чтобы $(x-1)(x+2) \geq 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Уравнение равносильно тому, что $(x-1)(x+2) = 0$, откуда $x_1=1$ и $x_2=-2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Множества решений не совпадают ({1} и {-2, 1}). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.