Номер 30, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 4 = 12$ и $\frac{1}{4}x = 2$

2) $x = 2$ и $x^2 = 4$

3) $x^2 = -12x$ и $x = -12$

4) $\sqrt{x - 2} = -1$ и $|x - 2| = -1$

5) $x + 16 = x + 16$ и $\frac{x^6 + 64}{x^6 + 64} = 1$

6) $x + 2 = x + 2$ и $\frac{x + 2}{x + 2} = 1$

7) $x^2 + 6x + 9 = 0$ и $x + 3 = 0$

8) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = 0$ и $x - 3 = 0$

9) $x\sqrt{x + 2} = 0$ и $(x + 2)\sqrt{x} = 0$

10) $\sqrt{x - 1}\sqrt{x + 2} = 0$ и $\sqrt{(x - 1)(x + 2)} = 0?$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Это также означает, что если одно уравнение не имеет решений, то и другое не должно иметь решений.

1) Решим первое уравнение: $x + 4 = 12$. Перенесем 4 в правую часть: $x = 12 - 4$, откуда $x = 8$. Корень уравнения: 8.

Решим второе уравнение: $\frac{1}{4}x = 2$. Умножим обе части на 4: $x = 2 \cdot 4$, откуда $x = 8$. Корень уравнения: 8.

Множества решений обоих уравнений совпадают ({8}). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

2) Первое уравнение $x = 2$ имеет единственный корень: 2.

Второе уравнение $x^2 = 4$ имеет два корня: $x = \sqrt{4}$ и $x = -\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Множества решений не совпадают ({2} и {-2, 2}). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

3) Решим первое уравнение: $x^2 = -12x$. Перенесем все в левую часть: $x^2 + 12x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 12) = 0$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -12$.

Второе уравнение $x = -12$ имеет единственный корень: -12.

Множества решений не совпадают ({0, -12} и {-12}). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

4) В первом уравнении $\sqrt{x-2} = -1$ левая часть (арифметический квадратный корень) по определению не может быть отрицательной. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Во втором уравнении $|x-2| = -1$ левая часть (модуль числа) по определению не может быть отрицательной. Следовательно, это уравнение также не имеет решений.

Множества решений обоих уравнений пусты (∅), значит, они совпадают. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

5) Первое уравнение $x + 16 = x + 16$ является тождеством, верным для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Второе уравнение $\frac{x^6 + 64}{x^6 + 64} = 1$ также является тождеством, но нужно проверить область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^6 + 64 \neq 0$. Так как $x^6 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^6 + 64 \geq 64$. Знаменатель никогда не равен нулю. Таким образом, это уравнение тоже верно для любого действительного числа $x$.

Множества решений обоих уравнений совпадают ($\mathbb{R}$). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

6) Первое уравнение $x + 2 = x + 2$ является тождеством, верным для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа ($\mathbb{R}$).

Для второго уравнения $\frac{x+2}{x+2} = 1$ необходимо учесть ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$. Для всех $x$, кроме -2, уравнение верно. Таким образом, множество его решений — все действительные числа, кроме -2.

Множества решений не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

7) Левая часть первого уравнения $x^2 + 6x + 9 = 0$ является полным квадратом: $(x+3)^2 = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x = -3$.

Второе уравнение $x + 3 = 0$ также имеет единственный корень $x = -3$.

Множества решений совпадают ({-3}). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

8) Решим первое уравнение $\frac{x^2 - 5x + 6}{x-2} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Приравняем числитель к нулю: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Проверим ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, поэтому единственным решением является $x = 3$.

Второе уравнение $x - 3 = 0$ имеет единственный корень $x = 3$.

Множества решений совпадают ({3}). Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

9) Для первого уравнения $x\sqrt{x+2} = 0$ ОДЗ определяется подкоренным выражением: $x+2 \geq 0$, то есть $x \geq -2$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x=0$ или $\sqrt{x+2}=0$. Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ. Из $\sqrt{x+2}=0$ следует $x+2=0$, то есть $x=-2$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ. Решения: -2 и 0.

Для второго уравнения $(x+2)\sqrt{x} = 0$ ОДЗ: $x \geq 0$. Произведение равно нулю, если $x+2=0$ или $\sqrt{x}=0$. Из $x+2=0$ следует $x=-2$, что не удовлетворяет ОДЗ ($x \geq 0$). Из $\sqrt{x}=0$ следует $x=0$, что удовлетворяет ОДЗ. Единственное решение: 0.

Множества решений не совпадают ({-2, 0} и {0}). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.

10) Для первого уравнения $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+2} = 0$ ОДЗ требует, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны: $x-1 \geq 0$ и $x+2 \geq 0$. Решая систему неравенств, получаем $x \geq 1$. Произведение равно нулю, если $\sqrt{x-1}=0$ (то есть $x=1$) или $\sqrt{x+2}=0$ (то есть $x=-2$). Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ, а $x=-2$ — нет. Единственное решение: 1.

Для второго уравнения $\sqrt{(x-1)(x+2)} = 0$ ОДЗ требует, чтобы $(x-1)(x+2) \geq 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. Уравнение равносильно тому, что $(x-1)(x+2) = 0$, откуда $x_1=1$ и $x_2=-2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Множества решений не совпадают ({1} и {-2, 1}). Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильны.