Номер 32, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Уравнение B является следствием уравнения A, если множество корней уравнения A является подмножеством множества корней уравнения B. Найдем корни каждого уравнения.

Первое уравнение: $x^5 = 9x^3$.
$x^5 - 9x^3 = 0$
$x^3(x^2 - 9) = 0$
$x^3(x-3)(x+3) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$. Множество корней $S_1 = \{-3, 0, 3\}$.

Второе уравнение: $x^2 = 9$.
Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Множество корней $S_2 = \{-3, 3\}$.

Сравниваем множества корней: $S_2 \subset S_1$. Это означает, что любой корень второго уравнения является корнем первого. Следовательно, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: уравнение $x^5 = 9x^3$ является следствием уравнения $x^2 = 9$.

Первое уравнение: $\frac{x-7}{x-7} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x-7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$. Для любого $x$ из ОДЗ уравнение представляет собой верное равенство $1=1$. Таким образом, множество решений первого уравнения $S_1 = \mathbb{R} \setminus \{7\}$.

Второе уравнение: $x - x = 0$.
Это уравнение равносильно $0=0$, что верно для любого действительного числа $x$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \mathbb{R}$.

Сравниваем множества решений: $S_1 \subset S_2$. Любое решение первого уравнения является решением второго. Следовательно, второе уравнение является следствием первого.

Ответ: уравнение $x - x = 0$ является следствием уравнения $\frac{x-7}{x-7} = 1$.

Первое уравнение: $|x - 3| = 4$.
Равносильно совокупности: $x - 3 = 4$ или $x - 3 = -4$.
Корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -1$. Множество корней $S_1 = \{-1, 7\}$.

Второе уравнение: $(x - 3)^3 = 64$.
Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x - 3 = \sqrt[3]{64}$, то есть $x - 3 = 4$.
Корень: $x = 7$. Множество корней $S_2 = \{7\}$.

Сравниваем множества корней: $S_2 \subset S_1$. Любой корень второго уравнения является корнем первого. Следовательно, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: уравнение $|x - 3| = 4$ является следствием уравнения $(x - 3)^3 = 64$.

Первое уравнение: $\frac{x}{\sqrt{x-6}} = \frac{36}{\sqrt{x-6}}$.
ОДЗ: $x-6 > 0 \Rightarrow x > 6$. На этой области уравнение равносильно $x=36$. Значение $x=36$ удовлетворяет ОДЗ. Множество корней $S_1 = \{36\}$.

Второе уравнение: $x=36$. Множество корней $S_2 = \{36\}$.

Множества корней совпадают ($S_1 = S_2$), значит, уравнения равносильны. Каждое из равносильных уравнений является следствием другого.

Ответ: уравнения являются равносильными, каждое является следствием другого.

Первое уравнение: $x^2 = 16$.
Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$. Множество корней $S_1 = \{-4, 4\}$.

Второе уравнение: $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-2}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-2}}$.
ОДЗ: $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$. На ОДЗ уравнение равносильно $x^2 = 16$. Корни этого уравнения $x=4$ и $x=-4$. Условию $x>2$ удовлетворяет только $x=4$. Множество корней второго уравнения $S_2 = \{4\}$.

Сравниваем множества корней: $S_2 \subset S_1$. Любой корень второго уравнения является корнем первого. Следовательно, первое уравнение является следствием второго.

Ответ: уравнение $x^2 = 16$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-2}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-2}}$.

Первое уравнение: $\sqrt{x-17} \cdot \sqrt{x+42} = 0$.
ОДЗ: $x-17 \ge 0$ и $x+42 \ge 0$, что дает $x \ge 17$.
На ОДЗ уравнение равносильно совокупности $\sqrt{x-17}=0$ или $\sqrt{x+42}=0$.
$x-17=0 \Rightarrow x=17$ (входит в ОДЗ).
$x+42=0 \Rightarrow x=-42$ (не входит в ОДЗ).
Единственный корень $x=17$. Множество корней $S_1 = \{17\}$.

Второе уравнение: $\sqrt{(x-17)(x+42)} = 0$.
ОДЗ: $(x-17)(x+42) \ge 0$, что дает $x \in (-\infty, -42] \cup [17, \infty)$.
Уравнение равносильно $(x-17)(x+42)=0$. Корни $x=17$ и $x=-42$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Множество корней $S_2 = \{-42, 17\}$.

Сравниваем множества корней: $S_1 \subset S_2$. Любой корень первого уравнения является корнем второго. Следовательно, второе уравнение является следствием первого.

Ответ: уравнение $\sqrt{(x-17)(x+42)} = 0$ является следствием уравнения $\sqrt{x-17} \cdot \sqrt{x+42} = 0$.

Первое уравнение: $(x+14)\sqrt{x-24}=0$.
ОДЗ: $x-24 \ge 0 \Rightarrow x \ge 24$.
На ОДЗ уравнение равносильно совокупности $x+14=0$ или $\sqrt{x-24}=0$.
$x=-14$ (не входит в ОДЗ).
$x=24$ (входит в ОДЗ).
Единственный корень $x=24$. Множество корней $S_1 = \{24\}$.

Второе уравнение: $(x-24)\sqrt{x+14}=0$.
ОДЗ: $x+14 \ge 0 \Rightarrow x \ge -14$.
На ОДЗ уравнение равносильно совокупности $x-24=0$ или $\sqrt{x+14}=0$.
$x=24$ (входит в ОДЗ).
$x=-14$ (входит в ОДЗ).
Корни $x=24$ и $x=-14$. Множество корней $S_2 = \{-14, 24\}$.

Сравниваем множества корней: $S_1 \subset S_2$. Любой корень первого уравнения является корнем второго. Следовательно, второе уравнение является следствием первого.

Ответ: уравнение $(x-24)\sqrt{x+14}=0$ является следствием уравнения $(x+14)\sqrt{x-24}=0$.