Номер 39, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} > 0;$

2) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} < 0;$

4) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \le 0;$

5) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} > 0;$

6) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} \ge 0;$

7) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} < 0;$

8) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} \le 0.$

1) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 + x - 12$: найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Тогда $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.
Для знаменателя $x^2 - 4x + 4$: это формула квадрата разности, $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2} > 0$
Найдем нули числителя ($x=3, x=-4$) и нули знаменателя ($x=2$). Отметим эти точки на числовой оси. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x=2$ всегда будет выколотой. Так как неравенство строгое ($>0$), нули числителя также будут выколотыми.
Знаменатель $(x-2)^2$ всегда больше нуля при $x \neq 2$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя $(x-3)(x+4)$.
Выражение $(x-3)(x+4)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, она положительна при $x < -4$ и при $x > 3$.
Учитывая, что $x \neq 2$, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (3; \infty)$

2) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \geq 0$

Используем разложение на множители из предыдущего пункта:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2} \geq 0$
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя ($x=3, x=-4$) включаются в решение. Нуль знаменателя ($x=2$) по-прежнему исключается.
Знак дроби определяется знаком числителя $(x-3)(x+4)$, который неотрицателен при $x \in (-\infty; -4] \cup [3; \infty)$.
Точка $x=2$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительно ничего исключать не нужно.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [3; \infty)$

3) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} < 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2} < 0$
Неравенство строгое, все точки ($x=-4, x=2, x=3$) будут выколотыми.
Так как знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен (при $x \neq 2$), знак дроби определяется знаком числителя $(x-3)(x+4)$.
Выражение $(x-3)(x+4)$ отрицательно между его корнями, то есть при $x \in (-4; 3)$.
Из этого интервала необходимо исключить точку $x=2$, где знаменатель обращается в ноль.
Ответ: $x \in (-4; 2) \cup (2; 3)$

4) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 4x + 4} \leq 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 2)^2} \leq 0$
Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя ($x=-4, x=3$) включаются в решение. Нуль знаменателя ($x=2$) исключается.
Дробь будет неположительной, если числитель $(x-3)(x+4)$ будет неположительным, то есть при $x \in [-4; 3]$.
Из этого интервала необходимо исключить точку $x=2$.
Ответ: $x \in [-4; 2) \cup (2; 3]$

5) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 + 6x + 9$: это формула квадрата суммы, $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.
Для знаменателя $x^2 + 3x - 10$: найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$. Тогда $x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 5)} > 0$
Найдем нули числителя ($x=-3$) и нули знаменателя ($x=2, x=-5$).
Числитель $(x+3)^2$ всегда больше или равен нулю. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго больше нуля, т.е. $x \neq -3$.
При $x \neq -3$ числитель положителен, значит, для положительности всей дроби знаменатель также должен быть положителен: $(x-2)(x+5) > 0$.
Это парабола с ветвями вверх, она положительна при $x \in (-\infty; -5) \cup (2; \infty)$.
Точка $x=-3$ не входит в эти интервалы.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; \infty)$

6) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} \geq 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 5)} \geq 0$
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Дробь равна нулю. Это возможно, когда числитель равен нулю, т.е. $(x+3)^2 = 0$, откуда $x = -3$.
2. Дробь строго больше нуля. Из предыдущего пункта мы знаем, что это выполняется при $x \in (-\infty; -5) \cup (2; \infty)$.
Объединяя эти решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; \infty) \cup \{-3\}$

7) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} < 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 5)} < 0$
Числитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы дробь была строго отрицательной, числитель должен быть строго положителен ($x \neq -3$), а знаменатель — строго отрицателен.
Знаменатель $(x-2)(x+5)$ отрицателен между его корнями, то есть при $x \in (-5; 2)$.
Из этого интервала необходимо исключить точку $x = -3$, где числитель равен нулю, и дробь не является строго отрицательной.
Ответ: $x \in (-5; -3) \cup (-3; 2)$

8) $\frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 + 3x - 10} \leq 0$

Используем разложение на множители:
$\frac{(x + 3)^2}{(x - 2)(x + 5)} \leq 0$
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Дробь равна нулю, что происходит при $x = -3$.
2. Дробь строго меньше нуля. Из предыдущего пункта мы знаем, что это выполняется при $x \in (-5; -3) \cup (-3; 2)$.
Объединяя эти два случая (интервал и точку, которая "закрывает" разрыв в этом интервале), получаем единый интервал. При этом концы интервала $(-5; 2)$ остаются выколотыми, так как они являются нулями знаменателя.
Ответ: $x \in (-5; 2)$