Номер 42, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Решите неравенство:

1) $\frac{x - 4}{x - 5} \le \frac{3x + 8}{x - 5}$;

2) $\frac{7x}{3x - 4} \ge 1$;

3) $\frac{x^2 + 8x}{x + 6} \le \frac{20}{x + 6}$;

4) $\frac{x^2 + x}{x + 3} \ge 2$.

1) Исходное неравенство: $\frac{x-4}{x-5} \le \frac{3x+8}{x-5}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-5 \neq 0$, следовательно, $x \neq 5$.
Перенесем все члены неравенства в левую часть: $\frac{x-4}{x-5} - \frac{3x+8}{x-5} \le 0$
Приведем к общему знаменателю: $\frac{(x-4) - (3x+8)}{x-5} \le 0$
$\frac{x-4-3x-8}{x-5} \le 0$
$\frac{-2x-12}{x-5} \le 0$
Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{x+6}{x-5} \ge 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x+6 = 0 \Rightarrow x = -6$
$x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$
Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=-6$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=5$ исключается (знаменатель не может быть равен нулю). Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -6]$, $[-6, 5)$ и $(5, +\infty)$.
- При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{6+6}{6-5} = 12 > 0$. Интервал подходит.
- При $-6 < x < 5$ (например, $x=0$): $\frac{0+6}{0-5} = -1.2 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7+6}{-7-5} = \frac{-1}{-12} > 0$. Интервал подходит.
Решением является объединение интервалов, где выражение неотрицательно.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup (5, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $\frac{7x}{3x-4} \ge 1$.
ОДЗ: $3x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{4}{3}$.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{7x}{3x-4} - 1 \ge 0$
$\frac{7x - (3x-4)}{3x-4} \ge 0$
$\frac{7x - 3x + 4}{3x-4} \ge 0$
$\frac{4x+4}{3x-4} \ge 0$
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $4x+4 = 0 \Rightarrow x = -1$
$3x-4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$
Отметим точки на числовой оси: $x=-1$ (включительно) и $x=\frac{4}{3}$ (исключительно). Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -1]$, $[-1, \frac{4}{3})$ и $(\frac{4}{3}, +\infty)$.
- При $x > \frac{4}{3}$ (например, $x=2$): $\frac{4(2)+4}{3(2)-4} = \frac{12}{2} > 0$. Интервал подходит.
- При $-1 < x < \frac{4}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)+4}{3(0)-4} = -1 < 0$. Интервал не подходит.
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{4(-2)+4}{3(-2)-4} = \frac{-4}{-10} > 0$. Интервал подходит.
Решением является объединение интервалов, где выражение неотрицательно.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (\frac{4}{3}, +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $\frac{x^2+8x}{x+6} \le \frac{20}{x+6}$.
ОДЗ: $x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$.
Перенесем все в левую часть: $\frac{x^2+8x - 20}{x+6} \le 0$
Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2+8x-20=0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
$x_{1} = \frac{-8 - 12}{2} = -10$
$x_{2} = \frac{-8 + 12}{2} = 2$
Разложим числитель на множители: $\frac{(x+10)(x-2)}{x+6} \le 0$.
Нули числителя: $x=-10, x=2$. Нуль знаменателя: $x=-6$.
Отметим точки на числовой оси: $x=-10$ и $x=2$ (включительно), $x=-6$ (исключительно).
Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -10]$, $[-10, -6)$, $(-6, 2]$ и $[2, +\infty)$.
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
- При $-6 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Интервал подходит.
- При $-10 < x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
- При $x < -10$ (например, $x=-11$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал подходит.
Решением является объединение интервалов, где выражение неположительно.
Ответ: $x \in (-\infty, -10] \cup (-6, 2]$.

4) Исходное неравенство: $\frac{x^2+x}{x+3} \ge 2$.
ОДЗ: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{x^2+x}{x+3} - 2 \ge 0$
$\frac{x^2+x - 2(x+3)}{x+3} \ge 0$
$\frac{x^2+x-2x-6}{x+3} \ge 0$
$\frac{x^2-x-6}{x+3} \ge 0$
Найдем корни числителя, решив уравнение $x^2-x-6=0$.
По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-2$.
Разложим числитель на множители: $\frac{(x-3)(x+2)}{x+3} \ge 0$.
Нули числителя: $x=3, x=-2$. Нуль знаменателя: $x=-3$.
Отметим точки на оси: $x=3$ и $x=-2$ (включительно), $x=-3$ (исключительно).
Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -2]$, $[-2, 3]$ и $[3, +\infty)$.
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
- При $-2 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.
- При $-3 < x < -2$ (например, $x=-2.5$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.
Решением является объединение интервалов, где выражение неотрицательно.
Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [3, +\infty)$.