Номер 37, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Решите неравенство:

1) $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 > 0;$

2) $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 \ge 0;$

3) $(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4(x-4)^5 \le 0.$

1) $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 > 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем нули функции $y = (x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3$. Это точки, в которых выражение обращается в ноль: $x=1, x=2, x=3$.

Множители $(x-1)^2$ и $(x-2)^4$ всегда неотрицательны, так как находятся в четной степени. Поскольку неравенство строгое ($>0$), эти множители не могут быть равны нулю. Следовательно, мы должны исключить значения $x=1$ и $x=2$ из рассмотрения.
При $x \ne 1$ и $x \ne 2$ множители $(x-1)^2$ и $(x-2)^4$ строго положительны и не влияют на знак всего выражения. Таким образом, знак левой части неравенства совпадает со знаком множителя $(x-3)^3$.

Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} (x-3)^3 > 0 \\ x \ne 1 \\ x \ne 2 \end{cases}$
Решаем первое неравенство:
$x-3 > 0 \Rightarrow x > 3$

Условие $x > 3$ автоматически удовлетворяет условиям $x \ne 1$ и $x \ne 2$.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

2) $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 \ge 0$

Это нестрогое неравенство. Его решение представляет собой объединение решений строгого неравенства $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 > 0$ и уравнения $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 = 0$.

1. Из предыдущего пункта мы знаем, что решение неравенства $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 > 0$ есть $x \in (3; +\infty)$.

2. Решим уравнение $(x-1)^2(x-2)^4(x-3)^3 = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x-1=0 \Rightarrow x=1$
$x-2=0 \Rightarrow x=2$
$x-3=0 \Rightarrow x=3$
Таким образом, числа $1, 2, 3$ являются решениями.

Объединим полученные результаты: интервал $(3; +\infty)$ и точки $1, 2, 3$. Точка $x=3$ включается в интервал, который становится полуинтервалом $[3; +\infty)$. Точки $x=1$ и $x=2$ являются изолированными решениями.
Ответ: $x \in \{1\} \cup \{2\} \cup [3; +\infty)$.

3) $(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4(x-4)^5 \le 0$

Решим неравенство методом интервалов.
Найдем нули функции $y = (x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4(x-4)^5$ и определим их кратность:
$x=1$ (кратность 2, четная)
$x=2$ (кратность 3, нечетная)
$x=3$ (кратность 4, четная)
$x=4$ (кратность 5, нечетная)

Отметим эти точки на числовой оси. При переходе через корень нечетной кратности (2 и 4) знак функции будет меняться, а при переходе через корень четной кратности (1 и 3) — сохраняться.
Определим знак на крайнем правом интервале $(4; +\infty)$. Возьмем пробную точку $x=5$:
$(5-1)^2(5-2)^3(5-3)^4(5-4)^5 = (+)^2(+)^3(+)^4(+)^5 > 0$. Знак «+».

Расставим знаки на остальных интервалах, двигаясь справа налево:

• Интервал $(4; +\infty)$: +
• Переход через $x=4$ (нечетная кратность): знак меняется на «-». Интервал $(3; 4)$: -
• Переход через $x=3$ (четная кратность): знак сохраняется «-». Интервал $(2; 3)$: -
• Переход через $x=2$ (нечетная кратность): знак меняется на «+». Интервал $(1; 2)$: +
• Переход через $x=1$ (четная кратность): знак сохраняется «+». Интервал $(-\infty; 1)$: +

Схема знаков: $(-\infty; 1) \xrightarrow{+} 1 \xrightarrow{+} (1; 2) \xrightarrow{+} 2 \xrightarrow{-} (2; 3) \xrightarrow{-} 3 \xrightarrow{-} (3; 4) \xrightarrow{-} 4 \xrightarrow{+} (4; +\infty)$.

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
Выражение меньше нуля ($<0$) на интервалах $(2; 3)$ и $(3; 4)$.
Выражение равно нулю ($=0$) в точках $x=1, x=2, x=3, x=4$.

Объединяя эти множества, получаем:
$ \{1\} \cup \{2\} \cup (2; 3) \cup \{3\} \cup (3; 4) \cup \{4\} $.
Объединение $(2; 3) \cup \{3\} \cup (3; 4)$ вместе с точками $x=2$ и $x=4$ дает отрезок $[2; 4]$.
Точка $x=1$ является изолированным решением.
Ответ: $x \in \{1\} \cup [2; 4]$.