Номер 31, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Равносильны ли неравенства:

1) $x - 9 > 11$ и $-3x < -60;$

2) $(x - 2)^2 (x - 1) > 0$ и $x - 1 > 0;$

3) $(x - 2)^2 (x - 1) \ge 0$ и $x - 1 \ge 0;$

4) $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$ и $x > 3;$

5) $x^2 \ge -2x$ и $x \ge -2;$

6) $\sqrt{x - 8} < -2$ и $(x - 8)^2 \le 0;$

7) $\sqrt{x - 8} \ge -2$ и $(x - 8)^2 \ge 0;$

8) $\sqrt{x - 8} < -2$ и $(x - 8)^2 < 0?$

1) Решим первое неравенство: $x - 9 > 11$.
Прибавим 9 к обеим частям неравенства: $x > 11 + 9$, что дает $x > 20$.
Множество решений: $(20, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $-3x < -60$.
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный: $x > \frac{-60}{-3}$, что дает $x > 20$.
Множество решений: $(20, +\infty)$.
Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: Да, равносильны.

2) Решим первое неравенство: $(x - 2)^2 (x - 1) > 0$.
Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = 2$ и положителен при $x \neq 2$.
Для выполнения неравенства произведение должно быть строго положительным, поэтому оба множителя должны быть положительны и не равны нулю. Это требует одновременного выполнения условий: $(x - 2)^2 > 0$ и $x - 1 > 0$.
Из $(x - 2)^2 > 0$ следует, что $x \neq 2$.
Из $x - 1 > 0$ следует, что $x > 1$.
Объединяя эти условия, получаем множество решений: $(1, 2) \cup (2, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x - 1 > 0$.
Его решение: $x > 1$. Множество решений: $(1, +\infty)$.
Множества решений $(1, 2) \cup (2, +\infty)$ и $(1, +\infty)$ не совпадают (второе включает точку $x=2$, а первое — нет). Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

3) Решим первое неравенство: $(x - 2)^2 (x - 1) \ge 0$.
Множитель $(x - 2)^2$ всегда неотрицателен ($(x - 2)^2 \ge 0$).
Произведение будет неотрицательным, если второй множитель $x - 1$ также неотрицателен, то есть $x - 1 \ge 0$.
Это дает $x \ge 1$. При $x \ge 1$ оба множителя $(x-2)^2$ и $(x-1)$ неотрицательны, и их произведение тоже неотрицательно.
Множество решений: $[1, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x - 1 \ge 0$.
Его решение: $x \ge 1$. Множество решений: $[1, +\infty)$.
Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: Да, равносильны.

4) Решим первое неравенство: $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$.
Перенесем все в левую часть: $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$.
Приведем к общему знаменателю: $\frac{3 - x}{3x} < 0$.
Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Случай 1: $3 - x > 0$ и $3x < 0$. Это дает $x < 3$ и $x < 0$, что равносильно $x < 0$.
Случай 2: $3 - x < 0$ и $3x > 0$. Это дает $x > 3$ и $x > 0$, что равносильно $x > 3$.
Множество решений: $(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x > 3$.
Множество решений: $(3, +\infty)$.
Множества решений не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

5) Решим первое неравенство: $x^2 \ge -2x$.
Перенесем все в левую часть: $x^2 + 2x \ge 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 2) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x+2)=0$ равны $x=0$ и $x=-2$. Графиком функции $y=x(x+2)$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $x \le -2$ и $x \ge 0$.
Множество решений: $(-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x \ge -2$.
Множество решений: $[-2, +\infty)$.
Множества решений не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

6) Решим первое неравенство: $\sqrt{x-8} < -2$.
Арифметический квадратный корень по определению всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x-8} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 8$).
Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного числа (-2).
Следовательно, это неравенство не имеет решений. Множество решений — пустое множество $\emptyset$.
Решим второе неравенство: $(x-8)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-8)^2 \ge 0$.
Единственная возможность для выполнения неравенства — это равенство $(x-8)^2 = 0$, которое достигается при $x - 8 = 0$, то есть $x = 8$.
Множество решений: $\{8\}$.
Множества решений $\emptyset$ и $\{8\}$ не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

7) Решим первое неравенство: $\sqrt{x-8} \ge -2$.
Область определения неравенства: $x - 8 \ge 0$, то есть $x \ge 8$.
Для любого $x$ из области определения значение $\sqrt{x-8}$ неотрицательно. Любое неотрицательное число всегда больше или равно -2.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из его области определения.
Множество решений: $[8, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $(x-8)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
Следовательно, это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.
Множество решений: $(-\infty, +\infty)$.
Множества решений $[8, +\infty)$ и $(-\infty, +\infty)$ не совпадают. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: Нет, не равносильны.

8) Решим первое неравенство: $\sqrt{x-8} < -2$.
Как и в пункте 6, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому это неравенство не имеет решений.
Множество решений — пустое множество $\emptyset$.
Решим второе неравенство: $(x-8)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть строго меньше нуля.
Следовательно, это неравенство также не имеет решений.
Множество решений — пустое множество $\emptyset$.
Множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми множествами), следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: Да, равносильны.