Номер 28, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 5, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

$0 < t - x_0 < (1 - x_0)(S - x_1)$

Рис. 5

a

б

в

График функции $g$, обратной к функции $f$, симметричен графику функции $f$ относительно прямой $y=x$. Это означает, что для получения графика функции $g$ необходимо каждую точку $(x_0; y_0)$ графика функции $f$ заменить на точку $(y_0; x_0)$.

Рассмотрим график функции $f$ на рисунке 'а'. Выберем на нем несколько характерных точек: $(-1; 0,5)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; 4)$.

Чтобы получить точки, принадлежащие графику обратной функции $g$, поменяем в каждой паре координаты $x$ и $y$ местами. Получим точки для графика $g$: $(0,5; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$ и $(4; 2)$.

Исходная функция $f$ (показательная) имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox). Следовательно, график обратной функции $g$ будет иметь вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy). Соединив полученные точки плавной кривой с учётом асимптоты, получим график логарифмической функции.

Ответ: График обратной функции — логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1; 0)$, $(2; 1)$ и $(4; 2)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

Рассмотрим график функции $f$ на рисунке 'б'. Выберем на нем характерные точки: начальная точка $(-2; 0)$, а также точки $(-1; 1)$, $(2; 2)$ и $(7; 3)$.

Для построения графика обратной функции $g$ поменяем координаты в каждой точке. Получим точки для графика $g$: начальная точка $(0; -2)$, а также точки $(1; -1)$, $(2; 2)$ и $(3; 7)$.

Область определения функции $f$ — это $D(f) = [-2; +\infty)$, а область значений — $E(f) = [0; +\infty)$. Для обратной функции $g$ они меняются местами: область определения $D(g) = [0; +\infty)$ и область значений $E(g) = [-2; +\infty)$.

Соединив новые точки плавной кривой, получим график, который является правой ветвью параболы с вершиной в точке $(0; -2)$.

Ответ: График обратной функции — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0; -2)$, проходящая через точки $(1; -1)$ и $(2; 2)$.

График функции $f$ на рисунке 'в' — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Возьмем точки пересечения с осями координат: $(1; 0)$ и $(0; -2)$. Также на графике видна точка $(2; 2)$.

Для построения графика обратной функции $g$ поменяем координаты в этих точках. Получим точки: $(0; 1)$, $(-2; 0)$ и общую точку $(2; 2)$.

Проведя прямую через точки $(0; 1)$ и $(-2; 0)$, мы получим график обратной функции $g$. Это также будет прямая линия, симметричная исходной относительно прямой $y=x$.

Ответ: График обратной функции — это прямая, проходящая через точки $(-2; 0)$ и $(0; 1)$.