Номер 33, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x < 2$ и $x \le -5$;

2) $x \ge 8$ и $x > 8$;

3) $|x| < 9$ и $x < 9$;

4) $x^2 > 25$ и $x > 5$?

Чтобы определить, какое из двух неравенств является следствием другого, необходимо сравнить множества их решений. Если множество решений одного неравенства (назовем его B) является подмножеством множества решений другого неравенства (назовем его A), то неравенство A является следствием неравенства B. Другими словами, если из истинности неравенства B всегда следует истинность неравенства A.

1) $x < 2$ и $x \le -5$

Множество решений неравенства $x \le -5$ - это числовой луч $(-\infty; -5]$.

Множество решений неравенства $x < 2$ - это числовой луч $(-\infty; 2)$.

Любое число, которое меньше или равно $-5$, очевидно, будет меньше $2$. Таким образом, множество решений неравенства $x \le -5$ является подмножеством множества решений неравенства $x < 2$: $(-\infty; -5] \subset (-\infty; 2)$.

Следовательно, неравенство $x < 2$ является следствием неравенства $x \le -5$.

Ответ: Неравенство $x < 2$ является следствием неравенства $x \le -5$.

2) $x \ge 8$ и $x > 8$

Множество решений неравенства $x > 8$ - это открытый числовой луч $(8; +\infty)$.

Множество решений неравенства $x \ge 8$ - это числовой луч $[8; +\infty)$.

Любое число, которое строго больше $8$, будет также больше или равно $8$. Таким образом, множество решений неравенства $x > 8$ является подмножеством множества решений неравенства $x \ge 8$: $(8; +\infty) \subset [8; +\infty)$.

Следовательно, неравенство $x \ge 8$ является следствием неравенства $x > 8$.

Ответ: Неравенство $x \ge 8$ является следствием неравенства $x > 8$.

3) $|x| < 9$ и $x < 9$

Неравенство $|x| < 9$ равносильно двойному неравенству $-9 < x < 9$. Его множество решений - это интервал $(-9; 9)$.

Множество решений неравенства $x < 9$ - это числовой луч $(-\infty; 9)$.

Любое число, которое находится в интервале от $-9$ до $9$, очевидно, будет меньше $9$. Таким образом, множество решений неравенства $|x| < 9$ является подмножеством множества решений неравенства $x < 9$: $(-9; 9) \subset (-\infty; 9)$.

Следовательно, неравенство $x < 9$ является следствием неравенства $|x| < 9$.

Ответ: Неравенство $x < 9$ является следствием неравенства $|x| < 9$.

4) $x^2 > 25$ и $x > 5$

Множество решений неравенства $x > 5$ - это открытый числовой луч $(5; +\infty)$.

Решим неравенство $x^2 > 25$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $x > 5$ или $x < -5$. Его множество решений - это объединение двух лучей $(-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

Любое число, которое больше $5$, при возведении в квадрат будет больше $25$. Таким образом, множество решений неравенства $x > 5$ является подмножеством множества решений неравенства $x^2 > 25$: $(5; +\infty) \subset (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

Следовательно, неравенство $x^2 > 25$ является следствием неравенства $x > 5$.

Ответ: Неравенство $x^2 > 25$ является следствием неравенства $x > 5$.