Номер 27, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2x + 4;$

2) $y = \frac{3}{x-2};$

3) $y = 1 + \sqrt{x+3};$

4) $y = x^2, x \in [2; +\infty);$

5) $y = \frac{x}{4-x}.$

1) Чтобы найти функцию, обратную к $y = 2x + 4$, нужно выразить переменную $x$ через $y$.
$y = 2x + 4$
$2x = y - 4$
$x = \frac{y - 4}{2}$
После того как мы выразили $x$, для получения обратной функции в стандартном виде, поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \frac{x - 4}{2}$ или $y = \frac{1}{2}x - 2$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 2$.

2) Дана функция $y = \frac{3}{x - 2}$. Выразим $x$ через $y$.
$y(x - 2) = 3$
$x - 2 = \frac{3}{y}$
$x = 2 + \frac{3}{y}$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = 2 + \frac{3}{x}$
Приведя к общему знаменателю, получим:
$y = \frac{2x + 3}{x}$
Ответ: $y = \frac{2x + 3}{x}$.

3) Дана функция $y = 1 + \sqrt{x + 3}$.
Сначала определим область определения и область значений исходной функции.
Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x + 3 \ge 0$, следовательно $x \ge -3$. То есть $D(y) = [-3; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: поскольку $\sqrt{x + 3} \ge 0$, то $y = 1 + \sqrt{x + 3} \ge 1$. То есть $E(y) = [1; +\infty)$.
Теперь выразим $x$ через $y$:
$y - 1 = \sqrt{x + 3}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(y - 1)^2 = x + 3$
$x = (y - 1)^2 - 3$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = (x - 1)^2 - 3$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, поэтому для обратной функции $x \ge 1$.
Ответ: $y = (x - 1)^2 - 3$, при $x \ge 1$.

4) Дана функция $y = x^2$ с ограничением на область определения $x \in [2; +\infty)$.
На этом промежутке функция монотонно возрастает, значит, обратная функция существует.
Найдем область значений исходной функции. Если $x \ge 2$, то $y = x^2 \ge 2^2 = 4$. Таким образом, $E(y) = [4; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2$:
$x = \pm\sqrt{y}$
Так как по условию $x \in [2; +\infty)$, то есть $x$ принимает только неотрицательные значения, мы выбираем положительный корень:
$x = \sqrt{y}$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \sqrt{x}$
Область определения обратной функции есть область значений исходной, то есть $x \in [4; +\infty)$.
Ответ: $y = \sqrt{x}$, при $x \ge 4$.

5) Дана функция $y = \frac{x}{4 - x}$. Выразим $x$ через $y$.
$y(4 - x) = x$
$4y - yx = x$
$4y = x + yx$
$4y = x(1 + y)$
$x = \frac{4y}{1 + y}$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \frac{4x}{1 + x}$
Ответ: $y = \frac{4x}{x + 1}$.