Страница 8 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{4x+3}$;

2) $y = \frac{1}{3-4x}$;

3) $y = \frac{6}{4x-3}-1$.

1) $y = \frac{1}{4x + 3}$

Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. График можно получить из графика базовой функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью преобразований. Преобразуем выражение: $y = \frac{1}{4(x + \frac{3}{4})} = \frac{1/4}{x + \frac{3}{4}}$. Это график функции $y = \frac{1/4}{x}$, смещенный на $\frac{3}{4}$ влево.

1. Область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $4x + 3 \neq 0$ $4x \neq -3$ $x \neq -0.75$ Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; -0.75) \cup (-0.75; +\infty)$.

2. Асимптоты. Вертикальная асимптота — прямая, где функция не определена: $x = -0.75$. Горизонтальная асимптота — значение, к которому стремится $y$ при $x \to \pm\infty$. В данном случае $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{4x + 3} = 0$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

3. Построение графика. График функции — гипербола. Поскольку коэффициент $k = 1/4 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях относительно асимптот. Для более точного построения найдем несколько точек:

• при $x = -2$, $y = \frac{1}{4(-2) + 3} = \frac{1}{-5} = -0.2$
• при $x = -1$, $y = \frac{1}{4(-1) + 3} = \frac{1}{-1} = -1$
• при $x = -0.5$, $y = \frac{1}{4(-0.5) + 3} = \frac{1}{1} = 1$
• при $x = 0$, $y = \frac{1}{4(0) + 3} = \frac{1}{3}$

Для построения графика необходимо начертить систему координат, провести пунктирными линиями асимптоты $x = -0.75$ и $y = 0$ (ось Ox), отметить вычисленные точки и провести через них две ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = -0.75$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви расположены в 1-й и 3-й четвертях относительно асимптот.

2) $y = \frac{1}{3 - 4x}$

Это также функция обратной пропорциональности (гипербола). Преобразуем ее вид для удобства анализа: $y = \frac{1}{-(4x - 3)} = -\frac{1}{4x - 3} = -\frac{1/4}{x - \frac{3}{4}}$. Это график функции $y = -\frac{1/4}{x}$, смещенный на $\frac{3}{4}$ вправо.

1. Область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $3 - 4x \neq 0$ $4x \neq 3$ $x \neq 0.75$ Область определения $D(y) = (-\infty; 0.75) \cup (0.75; +\infty)$.

2. Асимптоты. Вертикальная асимптота: $x = 0.75$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{3 - 4x} = 0$.

3. Построение графика. График функции — гипербола. Так как коэффициент $k = -1/4 < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях относительно асимптот. Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0$, $y = \frac{1}{3 - 0} = \frac{1}{3}$
• при $x = 0.5$, $y = \frac{1}{3 - 4(0.5)} = \frac{1}{3 - 2} = 1$
• при $x = 1$, $y = \frac{1}{3 - 4(1)} = \frac{1}{-1} = -1$
• при $x = 2$, $y = \frac{1}{3 - 4(2)} = \frac{1}{-5} = -0.2$

Строим асимптоты $x = 0.75$ и $y = 0$. Отмечаем точки и проводим через них ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = 0.75$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви расположены во 2-й и 4-й четвертях относительно асимптот.

3) $y = \frac{6}{4x - 3} - 1$

График этой функции — гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{6}{4x-3}$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

1. Область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю: $4x - 3 \neq 0$ $4x \neq 3$ $x \neq 0.75$ Область определения $D(y) = (-\infty; 0.75) \cup (0.75; +\infty)$.

2. Асимптоты. Вертикальная асимптота: $x = 0.75$. Горизонтальная асимптота: $y = -1$ (так как при $x \to \pm\infty$, дробь $\frac{6}{4x-3} \to 0$, а $y \to 0 - 1 = -1$).

3. Построение графика. Коэффициент $k$ в числителе положителен ($6$), поэтому ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно новых осей (асимптот). Найдем точки пересечения с осями координат и еще несколько точек.

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
  $y = \frac{6}{4(0) - 3} - 1 = \frac{6}{-3} - 1 = -2 - 1 = -3$. Точка $(0; -3)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
  $0 = \frac{6}{4x - 3} - 1 \implies 1 = \frac{6}{4x - 3} \implies 4x - 3 = 6 \implies 4x = 9 \implies x = 2.25$. Точка $(2.25; 0)$.
• Дополнительные точки:
  при $x = 1$, $y = \frac{6}{4(1) - 3} - 1 = \frac{6}{1} - 1 = 5$. Точка $(1; 5)$.
  при $x = 2$, $y = \frac{6}{4(2) - 3} - 1 = \frac{6}{5} - 1 = 1.2 - 1 = 0.2$. Точка $(2; 0.2)$.

Строим асимптоты $x = 0.75$ и $y = -1$. Отмечаем найденные точки и строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = 0.75$ и горизонтальной асимптотой $y = -1$.

23. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x - 3}$;

2) $y = \sqrt{\frac{1}{2}x + 3}$;

3) $y = \sqrt{3 - 2x}$;

4) $y = \sqrt{2x + 4} - 3$;

5) $y = 0,5\sqrt{6 - 4x} + 2$;

6) $y = -2\sqrt{3x + 2} - 1$.

1) $y = \sqrt{2x - 3}$

График данной функции — это ветвь параболы, которая является преобразованием (смещение и сжатие) графика функции $y=\sqrt{x}$. Для построения выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$2x - 3 \ge 0$
$2x \ge 3$
$x \ge 1.5$
Область определения $D(y) = [1.5; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика. Это точка, в которой подкоренное выражение равно нулю.
При $x = 1.5$, значение функции $y = \sqrt{2 \cdot 1.5 - 3} = \sqrt{0} = 0$.
Следовательно, начальная точка графика — $(1.5; 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек. Для удобства выберем значения $x$ так, чтобы подкоренное выражение было точным квадратом:
- при $x = 2$, $y = \sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(2; 1)$.
- при $x = 3.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 3.5 - 3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3.5; 2)$.
- при $x = 6$, $y = \sqrt{2 \cdot 6 - 3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(6; 3)$.

4. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости точки $(1.5; 0)$, $(2; 1)$, $(3.5; 2)$, $(6; 3)$ и соединяем их плавной линией. График направлен вправо и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(1.5; 0)$, направленная вправо и вверх, проходящая через точки $(2; 1)$, $(3.5; 2)$ и $(6; 3)$.

2) $y = \sqrt{\frac{1}{2}x + 3}$

График данной функции — это ветвь параболы, являющаяся преобразованием графика $y=\sqrt{x}$.

1. Найдем область определения функции.
$\frac{1}{2}x + 3 \ge 0$
$\frac{1}{2}x \ge -3$
$x \ge -6$
Область определения $D(y) = [-6; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = -6$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-6) + 3} = \sqrt{-3+3} = \sqrt{0} = 0$.
Начальная точка графика — $(-6; 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = -4$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-4) + 3} = \sqrt{-2+3} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-4; 1)$.
- при $x = 2$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(2) + 3} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2; 2)$.
- при $x = 12$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(12) + 3} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(12; 3)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(-6; 0)$, $(-4; 1)$, $(2; 2)$, $(12; 3)$ и соединяем их плавной кривой, направленной вправо и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(-6; 0)$, направленная вправо и вверх, проходящая через точки $(-4; 1)$, $(2; 2)$ и $(12; 3)$.

3) $y = \sqrt{3 - 2x}$

График данной функции — это ветвь параболы. Отрицательный коэффициент при $x$ под корнем означает, что ветвь будет направлена влево.

1. Найдем область определения функции.
$3 - 2x \ge 0$
$3 \ge 2x$
$x \le 1.5$
Область определения $D(y) = (-\infty; 1.5]$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = 1.5$, $y = \sqrt{3 - 2 \cdot 1.5} = \sqrt{0} = 0$.
Начальная точка графика — $(1.5; 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = 1$, $y = \sqrt{3 - 2 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1; 1)$.
- при $x = -0.5$, $y = \sqrt{3 - 2(-0.5)} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-0.5; 2)$.
- при $x = -3$, $y = \sqrt{3 - 2(-3)} = \sqrt{3+6} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-3; 3)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(1.5; 0)$, $(1; 1)$, $(-0.5; 2)$, $(-3; 3)$ и соединяем их плавной кривой, направленной влево и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(1.5; 0)$, направленная влево и вверх, проходящая через точки $(1; 1)$, $(-0.5; 2)$ и $(-3; 3)$.

4) $y = \sqrt{2x + 4} - 3$

График функции — ветвь параболы, смещенная по осям Ox и Oy.

1. Найдем область определения функции.
$2x + 4 \ge 0$
$2x \ge -4$
$x \ge -2$
Область определения $D(y) = [-2; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = -2$, $y = \sqrt{2(-2) + 4} - 3 = \sqrt{0} - 3 = -3$.
Начальная точка графика — $(-2; -3)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = -1.5$, $y = \sqrt{2(-1.5) + 4} - 3 = \sqrt{1} - 3 = -2$. Точка $(-1.5; -2)$.
- при $x = 0$, $y = \sqrt{2 \cdot 0 + 4} - 3 = \sqrt{4} - 3 = -1$. Точка $(0; -1)$.
- при $x = 2.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 2.5 + 4} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 0$. Точка $(2.5; 0)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(-2; -3)$, $(-1.5; -2)$, $(0; -1)$, $(2.5; 0)$ и соединяем их плавной кривой, направленной вправо и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(-2; -3)$, направленная вправо и вверх, проходящая через точки $(-1.5; -2)$, $(0; -1)$ и $(2.5; 0)$.

5) $y = 0.5\sqrt{6 - 4x} + 2$

Для удобства построения сначала преобразуем функцию:
$y = 0.5\sqrt{4(1.5 - x)} + 2 = 0.5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{1.5 - x} + 2 = 0.5 \cdot 2 \cdot \sqrt{1.5 - x} + 2 = \sqrt{1.5 - x} + 2$.

1. Найдем область определения функции.
$1.5 - x \ge 0$
$x \le 1.5$
Область определения $D(y) = (-\infty; 1.5]$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = 1.5$, $y = \sqrt{1.5 - 1.5} + 2 = 0 + 2 = 2$.
Начальная точка графика — $(1.5; 2)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = 0.5$, $y = \sqrt{1.5 - 0.5} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 3$. Точка $(0.5; 3)$.
- при $x = -2.5$, $y = \sqrt{1.5 - (-2.5)} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 4$. Точка $(-2.5; 4)$.
- при $x = -7.5$, $y = \sqrt{1.5 - (-7.5)} + 2 = \sqrt{9} + 2 = 5$. Точка $(-7.5; 5)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(1.5; 2)$, $(0.5; 3)$, $(-2.5; 4)$ и соединяем их плавной кривой, направленной влево и вверх.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(1.5; 2)$, направленная влево и вверх, проходящая через точки $(0.5; 3)$ и $(-2.5; 4)$.

6) $y = -2\sqrt{3x + 2} - 1$

График функции — ветвь параболы. Отрицательный коэффициент перед корнем означает, что ветвь будет направлена вниз.

1. Найдем область определения функции.
$3x + 2 \ge 0$
$3x \ge -2$
$x \ge -\frac{2}{3}$
Область определения $D(y) = [-\frac{2}{3}; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.
При $x = -\frac{2}{3}$, $y = -2\sqrt{3(-\frac{2}{3}) + 2} - 1 = -2\sqrt{0} - 1 = -1$.
Начальная точка графика — $(-\frac{2}{3}; -1)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
- при $x = -\frac{1}{3}$, $y = -2\sqrt{3(-\frac{1}{3}) + 2} - 1 = -2\sqrt{1} - 1 = -3$. Точка $(-\frac{1}{3}; -3)$.
- при $x = \frac{2}{3}$, $y = -2\sqrt{3(\frac{2}{3}) + 2} - 1 = -2\sqrt{4} - 1 = -4 - 1 = -5$. Точка $(\frac{2}{3}; -5)$.
- при $x = \frac{7}{3}$, $y = -2\sqrt{3(\frac{7}{3}) + 2} - 1 = -2\sqrt{9} - 1 = -6 - 1 = -7$. Точка $(\frac{7}{3}; -7)$.

4. Построение графика. Отмечаем точки $(-\frac{2}{3}; -1)$, $(-\frac{1}{3}; -3)$, $(\frac{2}{3}; -5)$ и соединяем их плавной кривой, направленной вправо и вниз.

Ответ: График функции — ветвь параболы с началом в точке $(-\frac{2}{3}; -1)$, направленная вправо и вниз, проходящая через точки $(-\frac{1}{3}; -3)$, $(\frac{2}{3}; -5)$ и $(\frac{7}{3}; -7)$.

24. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 4, являются обратимыми?

Рис. 4

а

б

в

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна, то есть каждому значению из области значений соответствует ровно одно значение из области определения. Графически это свойство проверяется с помощью теста горизонтальной линии: если любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке, то функция является обратимой. Другими словами, функция должна быть строго монотонной (либо строго возрастать, либо строго убывать) на всей своей области определения.

а
Рассмотрим график функции на рисунке а. Эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Применяя тест горизонтальной линии, мы видим, что любая горизонтальная прямая пересечет график этой функции ровно в одной точке. Следовательно, функция является взаимно-однозначной и, значит, обратимой.
Ответ: функция обратима.

б
Рассмотрим график функции на рисунке б. Это парабола, симметричная относительно оси $Oy$. Эта функция не является строго монотонной на всей области определения (она убывает при $x<0$ и возрастает при $x>0$). Горизонтальная прямая, заданная уравнением $y=c$ (где $c>0$), пересечет график в двух точках. Например, для разных значений аргумента $x_1 = -a$ и $x_2 = a$ (где $a \ne 0$) функция принимает одно и то же значение. Это означает, что функция не является взаимно-однозначной, а значит, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

в
Рассмотрим график функции на рисунке в. Эта функция является постоянной на отрезке $[-2; 2]$: для всех $x \in [-2; 2]$ значение функции равно 2, то есть $y=2$. Горизонтальная прямая $y=2$ совпадает с графиком функции на всем отрезке, то есть пересекает его в бесконечном множестве точек. Таким образом, разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

25. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = x^2 + 1$;

2) $y = \frac{1}{x^6}$;

3) $y = -2$.

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна, то есть каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$, и наоборот, каждому значению функции $y$ из области значений соответствует единственное значение аргумента $x$. Это означает, что функция должна быть инъективной: для любых двух различных значений аргумента $x_1 \neq x_2$ значения функции также должны быть различны: $f(x_1) \neq f(x_2)$. Если мы можем найти два разных значения $x_1$ и $x_2$, для которых функция принимает одинаковое значение, то есть $f(x_1) = f(x_2)$, то функция не является инъективной, а значит, и не является обратимой. Докажем это для каждой из данных функций.

1) $y = x^2 + 1$

Область определения данной функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Чтобы доказать, что функция не является обратимой, достаточно найти два различных значения аргумента $x$, для которых значения функции совпадают.

Возьмем, например, $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем значения функции для этих точек:

$y(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$y(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

Мы видим, что для двух различных значений аргумента $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$ функция принимает одно и то же значение $y = 2$. Следовательно, функция не является инъективной, а значит, не является обратимой.

Ответ: Функция $y = x^2 + 1$ не является обратимой, так как она не инъективна (например, $y(1) = y(-1)$).

2) $y = \frac{1}{x^6}$

Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x = 0$ ($x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$).

Аналогично предыдущему пункту, найдем два различных значения $x$, для которых значения $y$ будут одинаковы.

Возьмем, например, $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем значения функции для этих точек:

$y(2) = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$

$y(-2) = \frac{1}{(-2)^6} = \frac{1}{64}$

Так как для двух различных значений аргумента $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$ функция принимает одно и то же значение $y = \frac{1}{64}$, функция не является инъективной и, следовательно, не является обратимой.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^6}$ не является обратимой, так как она не инъективна (например, $y(2) = y(-2)$).

3) $y = -2$

Данная функция является постоянной. Область ее определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда будет равно $-2$.

Например, возьмем $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

$y(1) = -2$

$y(5) = -2$

Поскольку разным (и даже всем) значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, эта функция не является инъективной. Следовательно, она не является обратимой.

Ответ: Функция $y = -2$ не является обратимой, так как она является постоянной и, следовательно, не инъективна.

26. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 3x - 2$;

2) $y = x^2, x \in [1; +\infty)$;

3) $y = x^2, x \in [-2; 0];$

4) $y = x^2, x \in [-2; +\infty)?$

Функция является обратимой, если она строго монотонна на всей своей области определения (то есть либо строго возрастает, либо строго убывает). Другими словами, каждому значению функции должно соответствовать только одно значение аргумента. Проверим каждую из предложенных функций.

1) $y = 3x - 2$

Это линейная функция, её область определения — все действительные числа. Найдём её производную: $y' = (3x - 2)' = 3$.
Поскольку производная $y' = 3 > 0$ для любого значения $x$, функция строго возрастает на всей своей области определения. Следовательно, она является обратимой.
Ответ: функция обратима.

2) $y = x^2$, $x \in [1; +\infty)$

Это квадратичная функция, ограниченная промежутком $[1; +\infty)$. Найдём её производную: $y' = (x^2)' = 2x$.
На заданном промежутке $x \ge 1$, следовательно, производная $y' = 2x \ge 2 > 0$. Так как производная положительна на всей области определения, функция строго возрастает, а значит, является обратимой.
Ответ: функция обратима.

3) $y = x^2$, $x \in [-2; 0]$

Это квадратичная функция, ограниченная промежутком $[-2; 0]$. Её производная $y' = 2x$.
На заданном промежутке $x \le 0$, следовательно, производная $y' = 2x \le 0$. Производная равна нулю только в одной точке ($x=0$), а на интервале $(-2; 0)$ она строго отрицательна. Это означает, что функция строго убывает на промежутке $[-2; 0]$. Следовательно, она является обратимой.
Ответ: функция обратима.

4) $y = x^2$, $x \in [-2; +\infty)$

Это квадратичная функция на промежутке $[-2; +\infty)$. Её производная $y' = 2x$.
На промежутке $[-2; 0)$ производная $y' = 2x < 0$, то есть функция убывает.
На промежутке $(0; +\infty)$ производная $y' = 2x > 0$, то есть функция возрастает.
Поскольку на своей области определения функция сначала убывает, а потом возрастает, она не является строго монотонной. Например, значениям $x = -1$ и $x = 1$ (оба принадлежат области определения) соответствует одно и то же значение $y=1$. Значит, функция не является взаимно однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

27. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2x + 4;$

2) $y = \frac{3}{x-2};$

3) $y = 1 + \sqrt{x+3};$

4) $y = x^2, x \in [2; +\infty);$

5) $y = \frac{x}{4-x}.$

1) Чтобы найти функцию, обратную к $y = 2x + 4$, нужно выразить переменную $x$ через $y$.
$y = 2x + 4$
$2x = y - 4$
$x = \frac{y - 4}{2}$
После того как мы выразили $x$, для получения обратной функции в стандартном виде, поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \frac{x - 4}{2}$ или $y = \frac{1}{2}x - 2$.
Ответ: $y = \frac{1}{2}x - 2$.

2) Дана функция $y = \frac{3}{x - 2}$. Выразим $x$ через $y$.
$y(x - 2) = 3$
$x - 2 = \frac{3}{y}$
$x = 2 + \frac{3}{y}$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = 2 + \frac{3}{x}$
Приведя к общему знаменателю, получим:
$y = \frac{2x + 3}{x}$
Ответ: $y = \frac{2x + 3}{x}$.

3) Дана функция $y = 1 + \sqrt{x + 3}$.
Сначала определим область определения и область значений исходной функции.
Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x + 3 \ge 0$, следовательно $x \ge -3$. То есть $D(y) = [-3; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: поскольку $\sqrt{x + 3} \ge 0$, то $y = 1 + \sqrt{x + 3} \ge 1$. То есть $E(y) = [1; +\infty)$.
Теперь выразим $x$ через $y$:
$y - 1 = \sqrt{x + 3}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(y - 1)^2 = x + 3$
$x = (y - 1)^2 - 3$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = (x - 1)^2 - 3$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, поэтому для обратной функции $x \ge 1$.
Ответ: $y = (x - 1)^2 - 3$, при $x \ge 1$.

4) Дана функция $y = x^2$ с ограничением на область определения $x \in [2; +\infty)$.
На этом промежутке функция монотонно возрастает, значит, обратная функция существует.
Найдем область значений исходной функции. Если $x \ge 2$, то $y = x^2 \ge 2^2 = 4$. Таким образом, $E(y) = [4; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2$:
$x = \pm\sqrt{y}$
Так как по условию $x \in [2; +\infty)$, то есть $x$ принимает только неотрицательные значения, мы выбираем положительный корень:
$x = \sqrt{y}$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \sqrt{x}$
Область определения обратной функции есть область значений исходной, то есть $x \in [4; +\infty)$.
Ответ: $y = \sqrt{x}$, при $x \ge 4$.

5) Дана функция $y = \frac{x}{4 - x}$. Выразим $x$ через $y$.
$y(4 - x) = x$
$4y - yx = x$
$4y = x + yx$
$4y = x(1 + y)$
$x = \frac{4y}{1 + y}$
Поменяем местами $x$ и $y$:
$y = \frac{4x}{1 + x}$
Ответ: $y = \frac{4x}{x + 1}$.