Номер 26, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 3x - 2$;

2) $y = x^2, x \in [1; +\infty)$;

3) $y = x^2, x \in [-2; 0];$

4) $y = x^2, x \in [-2; +\infty)?$

Функция является обратимой, если она строго монотонна на всей своей области определения (то есть либо строго возрастает, либо строго убывает). Другими словами, каждому значению функции должно соответствовать только одно значение аргумента. Проверим каждую из предложенных функций.

1) $y = 3x - 2$

Это линейная функция, её область определения — все действительные числа. Найдём её производную: $y' = (3x - 2)' = 3$.
Поскольку производная $y' = 3 > 0$ для любого значения $x$, функция строго возрастает на всей своей области определения. Следовательно, она является обратимой.
Ответ: функция обратима.

2) $y = x^2$, $x \in [1; +\infty)$

Это квадратичная функция, ограниченная промежутком $[1; +\infty)$. Найдём её производную: $y' = (x^2)' = 2x$.
На заданном промежутке $x \ge 1$, следовательно, производная $y' = 2x \ge 2 > 0$. Так как производная положительна на всей области определения, функция строго возрастает, а значит, является обратимой.
Ответ: функция обратима.

3) $y = x^2$, $x \in [-2; 0]$

Это квадратичная функция, ограниченная промежутком $[-2; 0]$. Её производная $y' = 2x$.
На заданном промежутке $x \le 0$, следовательно, производная $y' = 2x \le 0$. Производная равна нулю только в одной точке ($x=0$), а на интервале $(-2; 0)$ она строго отрицательна. Это означает, что функция строго убывает на промежутке $[-2; 0]$. Следовательно, она является обратимой.
Ответ: функция обратима.

4) $y = x^2$, $x \in [-2; +\infty)$

Это квадратичная функция на промежутке $[-2; +\infty)$. Её производная $y' = 2x$.
На промежутке $[-2; 0)$ производная $y' = 2x < 0$, то есть функция убывает.
На промежутке $(0; +\infty)$ производная $y' = 2x > 0$, то есть функция возрастает.
Поскольку на своей области определения функция сначала убывает, а потом возрастает, она не является строго монотонной. Например, значениям $x = -1$ и $x = 1$ (оба принадлежат области определения) соответствует одно и то же значение $y=1$. Значит, функция не является взаимно однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.