Номер 19, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x + 2};$

2) $y = \sqrt{x + 3};$

3) $y = \sqrt{x - 1} - 1;$

4) $y = 2 - \sqrt{x - 1};$

5) $y = 2 + \sqrt{-x - 1}.$

1) $y = \sqrt{x + 2}$

Для построения графика данной функции используем метод преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2) и так далее.
Функция $y = \sqrt{x + 2}$ имеет вид $f(x+c)$, что соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ на $c$ единиц влево. В нашем случае $c=2$, следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 2 единицы влево вдоль оси Ox.
Найдем область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Таким образом, область определения $D(y) = [-2; +\infty)$.
Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
Найдем координаты нескольких точек для построения:
- Начальная точка: при $x = -2$, $y = \sqrt{-2 + 2} = 0$. Точка (-2, 0).
- При $x = -1$, $y = \sqrt{-1 + 2} = 1$. Точка (-1, 1).
- При $x = 2$, $y = \sqrt{2 + 2} = 2$. Точка (2, 2).
- При $x = 7$, $y = \sqrt{7 + 2} = 3$. Точка (7, 3).
Построим график, соединив эти точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 2}$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы влево по оси Ox. Начало графика в точке (-2, 0).

2) $y = \sqrt{x + 3}$

Аналогично предыдущему пункту, построим график этой функции путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$.
Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x+c)$, где $c=3$. Это означает, что график базовой функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть на 3 единицы влево вдоль оси Ox.
Область определения: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
$D(y) = [-3; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Координаты ключевых точек:
- Начальная точка: при $x = -3$, $y = \sqrt{-3 + 3} = 0$. Точка (-3, 0).
- При $x = -2$, $y = \sqrt{-2 + 3} = 1$. Точка (-2, 1).
- При $x = 1$, $y = \sqrt{1 + 3} = 2$. Точка (1, 2).
- При $x = 6$, $y = \sqrt{6 + 3} = 3$. Точка (6, 3).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 3}$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 3 единицы влево по оси Ox. Начало графика в точке (-3, 0).

3) $y = \sqrt{x - 1} - 1$

График данной функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ с помощью двух последовательных преобразований.
1. Сдвиг по горизонтали: $y = \sqrt{x - 1}$. Это сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвиг по вертикали: $y = \sqrt{x - 1} - 1$. Это сдвиг полученного на первом шаге графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
Область определения: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
$D(y) = [1; +\infty)$.
Область значений: так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $y \ge -1$.
$E(y) = [-1; +\infty)$.
Координаты ключевых точек:
- Начальная точка: при $x = 1$, $y = \sqrt{1 - 1} - 1 = -1$. Точка (1, -1).
- При $x = 2$, $y = \sqrt{2 - 1} - 1 = 0$. Точка (2, 0).
- При $x = 5$, $y = \sqrt{5 - 1} - 1 = 1$. Точка (5, 1).
- При $x = 10$, $y = \sqrt{10 - 1} - 1 = 2$. Точка (10, 2).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 1} - 1$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Начало графика в точке (1, -1).

4) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$

Построение этого графика из $y = \sqrt{x}$ включает несколько преобразований.
1. Сдвиг по горизонтали: $y = \sqrt{x - 1}$. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо.
2. Отражение: $y = -\sqrt{x - 1}$. График, полученный на шаге 1, симметрично отражается относительно оси Ox.
3. Сдвиг по вертикали: $y = -\sqrt{x - 1} + 2$. График, полученный на шаге 2, сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
Область определения: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
$D(y) = [1; +\infty)$.
Область значений: так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $-\sqrt{x-1} \le 0$, и $y \le 2$.
$E(y) = (-\infty; 2]$.
Координаты ключевых точек:
- Начальная точка: при $x = 1$, $y = 2 - \sqrt{1 - 1} = 2$. Точка (1, 2).
- При $x = 2$, $y = 2 - \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка (2, 1).
- При $x = 5$, $y = 2 - \sqrt{5 - 1} = 0$. Точка (5, 0).
- При $x = 10$, $y = 2 - \sqrt{10 - 1} = -1$. Точка (10, -1).

Ответ: График функции $y = 2 - \sqrt{x - 1}$ является графиком $y = \sqrt{x}$, который сдвинут на 1 единицу вправо, отражен относительно оси Ox и затем сдвинут на 2 единицы вверх. Начало графика в точке (1, 2), ветви направлены вниз.

5) $y = 2 + \sqrt{-x - 1}$

Построение этого графика из $y = \sqrt{x}$ также включает несколько преобразований. Выражение под корнем можно записать как $\sqrt{-(x+1)}$.
1. Сдвиг по горизонтали: $y = \sqrt{x+1}$. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево.
2. Отражение: $y = \sqrt{-(x+1)} = \sqrt{-x-1}$. График, полученный на шаге 1, симметрично отражается относительно оси Oy.
3. Сдвиг по вертикали: $y = 2 + \sqrt{-x - 1}$. График, полученный на шаге 2, сдвигается на 2 единицы вверх.
Область определения: $-x - 1 \ge 0 \implies -x \ge 1 \implies x \le -1$.
$D(y) = (-\infty; -1]$.
Область значений: так как $\sqrt{-x-1} \ge 0$, то $y \ge 2$.
$E(y) = [2; +\infty)$.
Координаты ключевых точек:
- Начальная точка: при $x = -1$, $y = 2 + \sqrt{-(-1) - 1} = 2$. Точка (-1, 2).
- При $x = -2$, $y = 2 + \sqrt{-(-2) - 1} = 3$. Точка (-2, 3).
- При $x = -5$, $y = 2 + \sqrt{-(-5) - 1} = 4$. Точка (-5, 4).
- При $x = -10$, $y = 2 + \sqrt{-(-10) - 1} = 5$. Точка (-10, 5).

Ответ: График функции $y = 2 + \sqrt{-x - 1}$ является графиком $y = \sqrt{x}$, который сдвинут на 1 единицу влево, отражен относительно оси Oy и затем сдвинут на 2 единицы вверх. Начало графика в точке (-1, 2), ветви направлены влево.