Номер 18, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Постройте график функции:

1) $y = \frac{6}{x};$

2) $y = \frac{6}{x} - 1;$

3) $y = \frac{6}{x - 1};$

4) $y = \frac{6}{1 - x};$

5) $y = \frac{6x}{x - 1}.$

1) $y = \frac{6}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола.

Основные свойства:

• Область определения: $D(y): x \neq 0$.
• Область значений: $E(y): y \neq 0$.
• Вертикальная асимптота: ось Oy, её уравнение $x=0$.
• Горизонтальная асимптота: ось Ox, её уравнение $y=0$.
• Поскольку коэффициент $k=6 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений для одной из ветвей, например, для $x > 0$:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Вторую ветвь (для $x < 0$) можно построить, используя свойство симметрии графика относительно начала координат (функция нечётная). Точки для второй ветви будут $(-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1)$.

Ответ: Графиком является гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2) $y = \frac{6}{x} - 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{6}{x}$ (рассмотренного в пункте 1) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy.

Для построения графика $y = \frac{6}{x} - 1$ необходимо:

1. Построить график базовой функции $y = \frac{6}{x}$.
2. Сдвинуть построенный график на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

При этом сдвиге:

• Вертикальная асимптота не изменится: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота сдвинется на 1 единицу вниз и станет $y=-1$.

Ответ: Графиком является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$, горизонтальная асимптота: $y=-1$.

3) $y = \frac{6}{x-1}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{6}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Ox.

Для построения графика $y = \frac{6}{x-1}$ необходимо:

1. Построить график базовой функции $y = \frac{6}{x}$.
2. Сдвинуть построенный график на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

При этом сдвиге:

• Вертикальная асимптота сдвинется на 1 единицу вправо и станет $x=1$.
• Горизонтальная асимптота не изменится: $y=0$.

Ответ: Графиком является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота: $x=1$, горизонтальная асимптота: $y=0$.

4) $y = \frac{6}{1-x}$

Преобразуем данную функцию: $y = \frac{6}{1-x} = \frac{6}{-(x-1)} = -\frac{6}{x-1}$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика $y = \frac{6}{x}$ на 1 единицу вправо. Получим график функции $y = \frac{6}{x-1}$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox. Это даст нам искомый график $y = -\frac{6}{x-1}$.

В результате этих преобразований:

• Асимптоты графика $y = \frac{6}{x-1}$ это $x=1$ и $y=0$. Эти асимптоты сохранятся и для функции $y = -\frac{6}{x-1}$.
• Ветви гиперболы $y = \frac{6}{x-1}$ располагались в I и III четвертях относительно своих асимптот. После отражения относительно оси Ox, ветви графика $y = -\frac{6}{x-1}$ будут располагаться во II и IV четвертях относительно асимптот $x=1$ и $y=0$.

Ответ: Графиком является гипербола. Вертикальная асимптота: $x=1$, горизонтальная асимптота: $y=0$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами.

5) $y = \frac{6x}{x-1}$

Для построения графика преобразуем данную дробно-рациональную функцию, выделив целую часть: $y = \frac{6x}{x-1} = \frac{6x - 6 + 6}{x-1} = \frac{6(x-1) + 6}{x-1} = \frac{6(x-1)}{x-1} + \frac{6}{x-1} = 6 + \frac{6}{x-1}$.

Таким образом, мы получили функцию $y = \frac{6}{x-1} + 6$. Её график можно получить из графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$ с помощью двух параллельных переносов:

1. Сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвиг на 6 единиц вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
• Горизонтальная асимптота: $y=6$.

Ветви гиперболы будут расположены в I и III четвертях относительно новой системы координат с центром в точке пересечения асимптот $(1, 6)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{6 \cdot 0}{0-1} = 0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
• С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{6x}{x-1} \Rightarrow 6x=0 \Rightarrow x=0$. Точка пересечения та же - $(0,0)$.

Ответ: Графиком является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 1 единицу вправо и на 6 единиц вверх. Вертикальная асимптота: $x=1$, горизонтальная асимптота: $y=6$.