Номер 13, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Сумма двух чисел равна 14. Какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел?

Пусть два числа будут $x$ и $y$.

По условию задачи, их сумма равна 14:

$x + y = 14$

Нам нужно найти наибольшее значение их произведения $P = x \cdot y$.

Для решения этой задачи можно использовать несколько способов.

Способ 1: Алгебраический (через функцию)

1. Выразим одну переменную через другую из уравнения суммы: $y = 14 - x$.

2. Подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию от одной переменной:

$P(x) = x \cdot (14 - x) = 14x - x^2$

3. Мы получили квадратичную функцию $P(x) = -x^2 + 14x$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный). Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

4. Координата $x_0$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 14$.

$x_0 = -14 / (2 \cdot (-1)) = -14 / (-2) = 7$

5. Таким образом, при $x = 7$ произведение будет максимальным. Найдем второе число:

$y = 14 - x = 14 - 7 = 7$

6. Наибольшее значение произведения равно:

$P_{max} = 7 \cdot 7 = 49$

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Для любых неотрицательных чисел $x$ и $y$ среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:

$(x + y) / 2 \ge \sqrt{xy}$

Подставим известное значение суммы $x + y = 14$:

$14 / 2 \ge \sqrt{xy}$

$7 \ge \sqrt{xy}$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$49 \ge xy$

Это означает, что произведение $xy$ не может быть больше 49. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $x = y$.

Поскольку $x + y = 14$ и $x = y$, то $2x = 14$, откуда $x = 7$. Следовательно, $y = 7$.

Наибольшее значение произведения равно $7 \cdot 7 = 49$.

Оба способа показывают, что произведение двух чисел с фиксированной суммой максимально, когда эти числа равны друг другу.

Ответ: 49