Номер 6, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=-x^2 + 2x - 5$ на промежутке:

1) [-2; -1];

2) [0; 2];

3) [2; 4].

Данная функция $y = -x^2 + 2x - 5$ является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля). Своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Значение функции в вершине: $y_v = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 5 = -1 + 2 - 5 = -4$.

На промежутке $(-\infty; 1]$ функция возрастает, а на промежутке $[1; \infty)$ — убывает.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на каждом из заданных промежутков.

1) $[-2; -1]$

Данный промежуток целиком лежит левее точки максимума ($x_v = 1$), поэтому на нем функция монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается в точке $x = -2$, а наибольшее — в точке $x = -1$.

Наименьшее значение: $y(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 5 = -4 - 4 - 5 = -13$.

Наибольшее значение: $y(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 5 = -1 - 2 - 5 = -8$.

Ответ: наименьшее значение: -13, наибольшее значение: -8.

2) $[0; 2]$

В этот промежуток входит точка максимума $x_v = 1$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно значению в вершине.

Наибольшее значение: $y(1) = -4$.

Наименьшее значение ищем на концах отрезка:

$y(0) = -(0)^2 + 2(0) - 5 = -5$.

$y(2) = -(2)^2 + 2(2) - 5 = -4 + 4 - 5 = -5$.

Наименьшее значение равно -5.

Ответ: наименьшее значение: -5, наибольшее значение: -4.

3) $[2; 4]$

Данный промежуток целиком лежит правее точки максимума ($x_v = 1$), поэтому на нем функция монотонно убывает. Наибольшее значение достигается в точке $x = 2$, а наименьшее — в точке $x = 4$.

Наибольшее значение: $y(2) = -(2)^2 + 2(2) - 5 = -4 + 4 - 5 = -5$.

Наименьшее значение: $y(4) = -(4)^2 + 2(4) - 5 = -16 + 8 - 5 = -13$.

Ответ: наименьшее значение: -13, наибольшее значение: -5.