Номер 8, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = 7x - 4x^5;$

2) $f(x) = \frac{5x^3 - 8x}{5x^2 + 6};$

3) $f(x) = \frac{2}{5 - 9x} - \frac{2}{5 + 9x};$

4) $f(x) = \sqrt{20 + x} - \sqrt{20 - x};$

5) $f(x) = x + \frac{2|x|}{x};$

6) $f(x) = \frac{3x^2}{|x + 14| - |x - 14|};$

Функция $f(x)$ называется нечётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть для любого $x \in D(f)$ верно, что $-x \in D(f)$) и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Докажем, что данные функции удовлетворяют этим условиям.

1)

Дана функция $f(x) = 7x - 4x^5$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = 7(-x) - 4(-x)^5 = -7x - 4(-x^5) = -7x + 4x^5$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(7x - 4x^5) = -7x + 4x^5$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, оба условия выполняются, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{5x^3 - 8x}{5x^2 + 6}$.

Область определения: знаменатель дроби $5x^2 + 6$ не равен нулю ни при каких действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $5x^2 + 6 \ge 6$. Следовательно, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, и эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{5(-x)^3 - 8(-x)}{5(-x)^2 + 6} = \frac{-5x^3 + 8x}{5x^2 + 6} = -\frac{5x^3 - 8x}{5x^2 + 6}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -\frac{5x^3 - 8x}{5x^2 + 6}$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{2}{5 - 9x} - \frac{2}{5 + 9x}$.

Область определения функции задаётся условиями $5 - 9x \neq 0$ и $5 + 9x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{5}{9}$ и $x \neq -\frac{5}{9}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\frac{5}{9}) \cup (-\frac{5}{9}; \frac{5}{9}) \cup (\frac{5}{9}; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{2}{5 - 9(-x)} - \frac{2}{5 + 9(-x)} = \frac{2}{5 + 9x} - \frac{2}{5 - 9x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{2}{5 - 9x} - \frac{2}{5 + 9x}) = -\frac{2}{5 - 9x} + \frac{2}{5 + 9x} = \frac{2}{5 + 9x} - \frac{2}{5 - 9x}$.

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$, и функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

4)

Дана функция $f(x) = \sqrt{20 + x} - \sqrt{20 - x}$.

Область определения задаётся системой неравенств: $\begin{cases} 20 + x \ge 0 \\ 20 - x \ge 0 \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} x \ge -20 \\ x \le 20 \end{cases}$. Таким образом, $D(f) = [-20; 20]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{20 + (-x)} - \sqrt{20 - (-x)} = \sqrt{20 - x} - \sqrt{20 + x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(\sqrt{20 + x} - \sqrt{20 - x}) = -\sqrt{20 + x} + \sqrt{20 - x} = \sqrt{20 - x} - \sqrt{20 + x}$.

Получаем, что $f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

5)

Дана функция $f(x) = x + \frac{2|x|}{x}$.

Область определения функции задаётся условием $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$, используя свойство модуля $|-a| = |a|$:

$f(-x) = (-x) + \frac{2|-x|}{-x} = -x + \frac{2|x|}{-x} = -x - \frac{2|x|}{x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(x + \frac{2|x|}{x}) = -x - \frac{2|x|}{x}$.

Сравнивая выражения, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

6)

Дана функция $f(x) = \frac{3x^2}{|x + 14| - |x - 14|}$.

Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $|x + 14| - |x - 14| \neq 0$, или $|x + 14| \neq |x - 14|$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-14$ не равно расстоянию от $x$ до $14$. Это условие нарушается только в точке, равноудаленной от $-14$ и $14$, то есть при $x = 0$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, и она симметрична относительно нуля.

Найдём $f(-x)$, используя свойства модуля $|-a| = |a|$ и $|a-b| = |b-a|$:

$f(-x) = \frac{3(-x)^2}{|(-x) + 14| - |(-x) - 14|} = \frac{3x^2}{|14 - x| - |-(x + 14)|} = \frac{3x^2}{|x - 14| - |x + 14|}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -\frac{3x^2}{|x + 14| - |x - 14|} = \frac{3x^2}{-(|x + 14| - |x - 14|)} = \frac{3x^2}{|x - 14| - |x + 14|}$.

Следовательно, $f(-x) = -f(x)$, и функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.