Номер 15, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Функция $f$ такова, что $\min_{[5;7]} f(x) = -1$, $\max_{[5;7]} f(x) = 4.$

Найдите $\min_{[-7;-5]} f(x)$, $\max_{[-7;-5]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

По условию задачи, для функции $f(x)$ на отрезке $[5; 7]$ известны её наименьшее и наибольшее значения:

$\min_{x \in [5; 7]} f(x) = -1$

$\max_{x \in [5; 7]} f(x) = 4$

Это означает, что для любого $x_0 \in [5; 7]$ выполняется двойное неравенство $-1 \le f(x_0) \le 4$. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на симметричном отрезке $[-7; -5]$.

1) f – чётная функция

Чётная функция по определению удовлетворяет свойству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Пусть $x$ — любое число из отрезка $[-7; -5]$. Тогда $-7 \le x \le -5$. Умножив это неравенство на -1, получим $5 \le -x \le 7$. Это означает, что число $-x$ принадлежит отрезку $[5; 7]$.

Так как функция $f$ чётная, то $f(x) = f(-x)$. Поскольку $-x \in [5; 7]$, значения $f(-x)$ принадлежат отрезку $[-1; 4]$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ на отрезке $[-7; -5]$ совпадает с множеством её значений на отрезке $[5; 7]$.

Таким образом, наименьшее и наибольшее значения на отрезке $[-7; -5]$ будут такими же, как и на отрезке $[5; 7]$.

$\min_{x \in [-7; -5]} f(x) = \min_{x \in [5; 7]} f(x) = -1$

$\max_{x \in [-7; -5]} f(x) = \max_{x \in [5; 7]} f(x) = 4$

Ответ: $\min_{x \in [-7; -5]} f(x) = -1$, $\max_{x \in [-7; -5]} f(x) = 4$.

2) f – нечётная функция

Нечётная функция по определению удовлетворяет свойству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Пусть $x$ — любое число из отрезка $[-7; -5]$. Тогда число $-x$ принадлежит отрезку $[5; 7]$.

Из свойства нечётности следует, что $f(x) = -f(-x)$.

Поскольку $-x \in [5; 7]$, мы знаем, что значения $f(-x)$ лежат в пределах от -1 до 4, то есть:

$-1 \le f(-x) \le 4$

Чтобы найти диапазон значений для $f(x)$, нам нужно найти диапазон значений для $-f(-x)$. Умножим данное двойное неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot (-1) \ge -f(-x) \ge -1 \cdot 4$

$1 \ge -f(-x) \ge -4$

Поскольку $f(x) = -f(-x)$, мы можем заменить $-f(-x)$ на $f(x)$:

$1 \ge f(x) \ge -4$

Записав в стандартном порядке, получаем:

$-4 \le f(x) \le 1$

Это означает, что наименьшее значение функции на отрезке $[-7; -5]$ равно -4, а наибольшее — 1.

Наименьшее значение на отрезке $[-7; -5]$ равно противополжному значению от наибольшего на $[5; 7]$:

$\min_{x \in [-7; -5]} f(x) = - \max_{x \in [5; 7]} f(x) = -4$

Наибольшее значение на отрезке $[-7; -5]$ равно противополжному значению от наименьшего на $[5; 7]$:

$\max_{x \in [-7; -5]} f(x) = - \min_{x \in [5; 7]} f(x) = -(-1) = 1$

Ответ: $\min_{x \in [-7; -5]} f(x) = -4$, $\max_{x \in [-7; -5]} f(x) = 1$.