Номер 11, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. О функции $f$, определённой на множестве $R$, известно, что $f(x) = x^2 + 2x$ при $x \le 0$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

По условию, функция $f(x)$ определена на множестве всех действительных чисел $R$, и для $x \le 0$ она задаётся формулой $f(x) = x^2 + 2x$.

Для построения полного графика функции, нам необходимо определить её вид при $x > 0$, используя свойства чётности и нечётности.

Сначала проанализируем заданную часть функции $f(x) = x^2 + 2x$ при $x \le 0$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину этой параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
Найдём нули функции на этом промежутке: $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=-2$. Оба корня принадлежат промежутку $x \le 0$.

1) чётной
Если функция $f(x)$ является чётной, то для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Нам нужно найти вид функции для $x > 0$. Возьмём любое $x > 0$. Тогда $-x < 0$.
По определению чётной функции, $f(x) = f(-x)$.
Так как $-x < 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу, подставив в неё $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$.
Следовательно, при $x > 0$, функция имеет вид $f(x) = x^2 - 2x$.
Таким образом, для чётной функции мы получаем кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} x^2+2x, & \text{при } x \le 0 \\ x^2-2x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$
Для построения графика при $x > 0$ мы строим график функции $y = x^2 - 2x$. Это парабола с ветвями вверх. Её вершина находится в точке $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_0 = 1^2 - 2(1) = -1$, то есть в точке $(1, -1)$. Нули функции: $x(x-2)=0$, т.е. $x=0$ и $x=2$.
Объединяя обе части, мы получаем график, симметричный относительно оси OY.
Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x \le 0$ это часть параболы $y=x^2+2x$ с вершиной в точке $(-1, -1)$ и проходящая через точки $(0,0)$ и $(-2,0)$. При $x > 0$ это часть параболы $y=x^2-2x$ с вершиной в точке $(1, -1)$ и проходящая через точки $(0,0)$ и $(2,0)$. График симметричен относительно оси ординат.

2) нечётной
Если функция $f(x)$ является нечётной, то для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).
Нам нужно найти вид функции для $x > 0$. Возьмём любое $x > 0$, тогда $-x < 0$.
По определению нечётной функции, $f(x) = -f(-x)$.
Как и в предыдущем пункте, мы можем найти $f(-x)$, так как $-x < 0$:
$f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$.
Тогда для $x > 0$ получаем:
$f(x) = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$.
Таким образом, для нечётной функции мы получаем кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} x^2+2x, & \text{при } x \le 0 \\ -x^2+2x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$
Для построения графика при $x > 0$ мы строим график функции $y = -x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями вниз. Её вершина находится в точке $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$, $y_0 = -(1)^2 + 2(1) = 1$, то есть в точке $(1, 1)$. Нули функции: $-x(x-2)=0$, т.е. $x=0$ и $x=2$.
Объединяя обе части, мы получаем график, симметричный относительно начала координат.
Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x \le 0$ это часть параболы $y=x^2+2x$ с вершиной в точке $(-1, -1)$ и проходящая через точки $(0,0)$ и $(-2,0)$. При $x > 0$ это часть параболы $y=-x^2+2x$ с ветвями вниз, с вершиной в точке $(1, 1)$ и проходящая через точки $(0,0)$ и $(2,0)$. График симметричен относительно начала координат.