Номер 7, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = -27$;

2) $f(x) = 8x^8 - 9x^4 + 24$;

3) $f(x) = \sqrt{14 - x^2}$;

4) $f(x) = \sqrt{28 - x} + \sqrt{28 + x}$;

5) $f(x) = \frac{x^2}{|x|} + 1$;

6) $f(x) = \frac{x}{|x + 12| - |x - 12|}$.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняются два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

1) $f(x) = -27$

1. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это постоянная функция. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$. Поскольку значение функции не зависит от аргумента, $f(-x) = -27$.
Таким образом, $f(-x) = -27 = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

2) $f(x) = 8x^8 - 9x^4 + 24$

1. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 8(-x)^8 - 9(-x)^4 + 24$
Поскольку степень отрицательного числа с чётным показателем равна степени положительного числа с тем же показателем ($(-a)^{2n} = a^{2n}$), имеем:
$(-x)^8 = x^8$ и $(-x)^4 = x^4$.
Тогда $f(-x) = 8x^8 - 9x^4 + 24 = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

3) $f(x) = \sqrt{14 - x^2}$

1. Найдём область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$14 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 14$
$-\sqrt{14} \le x \le \sqrt{14}$
Итак, $D(f) = [-\sqrt{14}, \sqrt{14}]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{14 - (-x)^2} = \sqrt{14 - x^2} = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

4) $f(x) = \sqrt{28 - x} + \sqrt{28 + x}$

1. Найдём область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\left\{\begin{matrix} 28 - x \ge 0 \\ 28 + x \ge 0 \end{matrix}\right. \implies \left\{\begin{matrix} x \le 28 \\ x \ge -28 \end{matrix}\right.$
Итак, $D(f) = [-28, 28]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{28 - (-x)} + \sqrt{28 + (-x)} = \sqrt{28 + x} + \sqrt{28 - x}$.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется, поэтому $f(-x) = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

5) $f(x) = \frac{x^2}{|x|} + 1$

1. Найдём область определения. Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
Итак, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2}{|-x|} + 1$.
Используя свойства чётной степени $(-x)^2 = x^2$ и модуля $|-x| = |x|$, получаем:
$f(-x) = \frac{x^2}{|x|} + 1 = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.

6) $f(x) = \frac{x}{|x+12| - |x-12|}$

1. Найдём область определения. Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x+12| - |x-12| \ne 0$
$|x+12| \ne |x-12|$
Возведём обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны):
$(x+12)^2 \ne (x-12)^2$
$x^2 + 24x + 144 \ne x^2 - 24x + 144$
$48x \ne 0 \implies x \ne 0$.
Итак, $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{-x}{|(-x)+12| - |(-x)-12|} = \frac{-x}{|12-x| - |-(x+12)|}$.
Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, имеем $|12-x| = |x-12|$ и $|-(x+12)| = |x+12|$.
Подставим это в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{-x}{|x-12| - |x+12|} = \frac{-x}{-(|x+12| - |x-12|)} = \frac{x}{|x+12| - |x-12|} = f(x)$.
Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной.