Номер 9, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = -8x^6;$

2) $f(x) = 3x^2 - 5x - 11;$

3) $f(x) = -x^4 + 6x^2 - 5;$

4) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x};$

5) $f(x) = \sqrt{6 - x^2};$

6) $f(x) = (x - 5)^4 - (x + 5)^4;$

7) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8};$

8) $f(x) = (x + 4)(x - 1) - 3x;$

9) $f(x) = (x + 8)|x - 7| - (x - 8)|x + 7|;$

10) $f(x) = \frac{2x - 3}{x^2 + 2x + 4} - \frac{2x + 3}{x^2 - 2x + 4};$

Для исследования функции на чётность необходимо проверить, является ли её область определения симметричной относительно начала координат, и затем сравнить значения $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$.

• Если область определения симметрична и $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция чётная.
• Если область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечётная.
• Если область определения несимметрична или ни одно из указанных равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

1) $f(x) = -8x^6$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = -8(-x)^6 = -8x^6$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = 3x^2 - 5x - 11$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = 3(-x)^2 - 5(-x) - 11 = 3x^2 + 5x - 11$.
Сравниваем:$f(-x) \neq f(x)$, так как $3x^2 + 5x - 11 \neq 3x^2 - 5x - 11$.
$f(-x) \neq -f(x)$, так как $3x^2 + 5x - 11 \neq -(3x^2 - 5x - 11) = -3x^2 + 5x + 11$.
Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

3) $f(x) = -x^4 + 6x^2 - 5$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = -(-x)^4 + 6(-x)^2 - 5 = -x^4 + 6x^2 - 5$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 2x}$

Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 + 2x \neq 0 \implies x(x^2 + 2) \neq 0$. Так как $x^2 + 2 > 0$ для любого $x$, то $x \neq 0$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 2(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 2x} = -\frac{1}{x^3 + 2x}$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

5) $f(x) = \sqrt{6 - x^2}$

Найдём область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 6 \implies -\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$.
Область определения $D(f) = [-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{6 - (-x)^2} = \sqrt{6 - x^2}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

6) $f(x) = (x - 5)^4 - (x + 5)^4$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = ((-x) - 5)^4 - ((-x) + 5)^4 = (-(x + 5))^4 - (-(x - 5))^4$.
Так как степень чётная, $(-(a))^4 = a^4$.
$f(-x) = (x + 5)^4 - (x - 5)^4 = -((x - 5)^4 - (x + 5)^4) = -f(x)$.
Функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

7) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{2x - 8}$

Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x - 8 \neq 0 \implies 2x \neq 8 \implies x \neq 4$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
Эта область не является симметричной относительно начала координат (например, $-4 \in D(f)$, но $4 \notin D(f)$).
Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

8) $f(x) = (x + 4)(x - 1) - 3x$

Упростим выражение: $f(x) = x^2 - x + 4x - 4 - 3x = x^2 - 4$.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

9) $f(x) = (x + 8)|x - 7| - (x - 8)|x + 7|$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = (-x + 8)|-x - 7| - (-x - 8)|-x + 7|$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$f(-x) = (8 - x)|-(x + 7)| - (-(x + 8))|-(x - 7)| = (8 - x)|x + 7| + (x + 8)|x - 7|$.
Переставим слагаемые и вынесем минус: $f(-x) = (x + 8)|x - 7| - (x - 8)|x + 7|$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$, и функция является чётной.

Ответ: чётная.

10) $f(x) = \frac{2x - 3}{x^2 + 2x + 4} - \frac{2x + 3}{x^2 - 2x + 4}$

Найдём область определения. Дискриминанты знаменателей $x^2 + 2x + 4$ и $x^2 - 2x + 4$ отрицательны ($D = 4 - 16 = -12 < 0$), поэтому знаменатели никогда не равны нулю.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.
Найдём $f(-x)$: $f(-x) = \frac{2(-x) - 3}{(-x)^2 + 2(-x) + 4} - \frac{2(-x) + 3}{(-x)^2 - 2(-x) + 4} = \frac{-2x - 3}{x^2 - 2x + 4} - \frac{-2x + 3}{x^2 + 2x + 4}$.
Вынесем минус в числителях: $f(-x) = \frac{-(2x + 3)}{x^2 - 2x + 4} - \frac{-(2x - 3)}{x^2 + 2x + 4} = -\frac{2x + 3}{x^2 - 2x + 4} + \frac{2x - 3}{x^2 + 2x + 4}$.
Переставив слагаемые, получим: $f(-x) = \frac{2x - 3}{x^2 + 2x + 4} - \frac{2x + 3}{x^2 - 2x + 4}$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$, и функция является чётной.

Ответ: чётная.