Номер 4, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Является ли нечётной функция, заданная формулой $y = x^3$, если её область определения — множество:

1) $(-5; 5)$;

2) $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$;

3) $(-4; 4]$?

Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если она удовлетворяет двум условиям:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля. Это означает, что для любого числа $x$ из области определения, число $-x$ также принадлежит области определения.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Сначала проверим второе условие для заданной функции $y = x^3$.

Пусть $f(x) = x^3$. Тогда $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.

С другой стороны, $-f(x) = -(x^3) = -x^3$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, второе условие нечётности для функции $y=x^3$ выполняется всегда. Таким образом, будет ли функция нечётной на заданном множестве, зависит только от того, является ли это множество (область определения) симметричным относительно нуля.

1) (-5; 5);

Область определения $D(y) = (-5; 5)$. Это интервал, симметричный относительно нуля. Если взять любое число $x$ из этого интервала (например, $x=4$), то противоположное ему число $-x$ (например, $-x=-4$) также будет принадлежать этому интервалу. Для любого $x$, такого что $-5 < x < 5$, выполняется и $-5 < -x < 5$. Таким образом, область определения симметрична. Оба условия нечётной функции выполнены.

Ответ: да.

2) (-∞; -1]∪[1; +∞);

Область определения $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Это множество также симметрично относительно нуля. Если $x$ принадлежит этому множеству (например, $x \ge 1$), то $-x$ также принадлежит ему (так как $-x \le -1$). И наоборот, если $x \le -1$, то $-x \ge 1$. Таким образом, область определения симметрична. Оба условия нечётной функции выполнены.

Ответ: да.

3) (-4; 4]?

Область определения $D(y) = (-4; 4]$. Это множество не является симметричным относительно нуля. Например, число $x=4$ принадлежит этой области определения (так как скобка квадратная), но противоположное ему число $-x=-4$ не принадлежит этой области (так как скобка круглая). Поскольку условие симметричности области определения не выполняется, функция на данном множестве не является нечётной.

Ответ: нет.