Номер 1, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. На рисунке 1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[-3,5; 0,5]$;

2) $[2,5; 4]$;

3) $[0; 2]$.

Рис. 1

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке $[-3,5; 0,5]$ рассмотрим соответствующую часть графика.

Наименьшее значение ($y_{наим}$) на этом промежутке достигается в точке локального минимума. Из графика видно, что это точка с абсциссой $x = -2$, и значение функции в ней $f(-2) = -2$.

Наибольшее значение ($y_{наиб}$) будет достигаться на одном из концов промежутка или в точке локального максимума. На данном промежутке локальных максимумов нет. На отрезке $[-2; 1]$ функция возрастает, поэтому наибольшее значение на рассматриваемом промежутке $[-3,5; 0,5]$ будет на его правом конце, то есть в точке $x = 0,5$. Из графика видно, что $f(-3,5) = 0$, а значение $f(0,5)$ положительно и больше, чем $f(-3,5)$. Для нахождения $f(0,5)$ заметим, что на график попадают точки $(0, 3)$ и $(1, 4)$. Если предположить, что участок кривой между этими точками является параболой с вершиной в $(1, 4)$, то ее уравнение $y = a(x-1)^2+4$. Подставив точку $(0, 3)$, находим $a=-1$. Тогда $f(x) = -(x-1)^2+4$, и при $x=0,5$ получаем $f(0,5) = -(0,5-1)^2+4 = -0,25+4 = 3,75$.

Ответ: наибольшее значение равно 3,75; наименьшее значение равно -2.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке $[2,5; 4]$ необходимо сравнить значения функции на его концах и в точках локальных экстремумов, попадающих в этот промежуток.

Значения функции на концах отрезка: $f(2,5) = 0$ и $f(4) = -1$.

Внутри данного отрезка есть точка локального минимума $x = 3,5$, в которой значение функции равно $f(3,5) = -1,5$.

Сравнивая значения $\{0; -1; -1,5\}$, делаем вывод, что наибольшее значение на промежутке равно 0, а наименьшее равно -1,5.

Ответ: наибольшее значение равно 0; наименьшее значение равно -1,5.

3) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке $[0; 2]$ сравним значения функции на его концах и в точках локальных экстремумов, попадающих в этот промежуток.

Значения функции на концах отрезка: $f(0) = 3$ и $f(2) = 1,5$.

Внутри данного отрезка есть точка локального максимума $x = 1$, в которой значение функции равно $f(1) = 4$.

Сравнивая значения $\{3; 1,5; 4\}$, делаем вывод, что наибольшее значение на промежутке равно 4. Наименьшее значение на этом отрезке достигается на одном из его концов, и оно равно 1,5.

Ответ: наибольшее значение равно 4; наименьшее значение равно 1,5.