Страница 4 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. На рисунке 1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[-3,5; 0,5]$;

2) $[2,5; 4]$;

3) $[0; 2]$.

Рис. 1

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке $[-3,5; 0,5]$ рассмотрим соответствующую часть графика.

Наименьшее значение ($y_{наим}$) на этом промежутке достигается в точке локального минимума. Из графика видно, что это точка с абсциссой $x = -2$, и значение функции в ней $f(-2) = -2$.

Наибольшее значение ($y_{наиб}$) будет достигаться на одном из концов промежутка или в точке локального максимума. На данном промежутке локальных максимумов нет. На отрезке $[-2; 1]$ функция возрастает, поэтому наибольшее значение на рассматриваемом промежутке $[-3,5; 0,5]$ будет на его правом конце, то есть в точке $x = 0,5$. Из графика видно, что $f(-3,5) = 0$, а значение $f(0,5)$ положительно и больше, чем $f(-3,5)$. Для нахождения $f(0,5)$ заметим, что на график попадают точки $(0, 3)$ и $(1, 4)$. Если предположить, что участок кривой между этими точками является параболой с вершиной в $(1, 4)$, то ее уравнение $y = a(x-1)^2+4$. Подставив точку $(0, 3)$, находим $a=-1$. Тогда $f(x) = -(x-1)^2+4$, и при $x=0,5$ получаем $f(0,5) = -(0,5-1)^2+4 = -0,25+4 = 3,75$.

Ответ: наибольшее значение равно 3,75; наименьшее значение равно -2.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке $[2,5; 4]$ необходимо сравнить значения функции на его концах и в точках локальных экстремумов, попадающих в этот промежуток.

Значения функции на концах отрезка: $f(2,5) = 0$ и $f(4) = -1$.

Внутри данного отрезка есть точка локального минимума $x = 3,5$, в которой значение функции равно $f(3,5) = -1,5$.

Сравнивая значения $\{0; -1; -1,5\}$, делаем вывод, что наибольшее значение на промежутке равно 0, а наименьшее равно -1,5.

Ответ: наибольшее значение равно 0; наименьшее значение равно -1,5.

3) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке $[0; 2]$ сравним значения функции на его концах и в точках локальных экстремумов, попадающих в этот промежуток.

Значения функции на концах отрезка: $f(0) = 3$ и $f(2) = 1,5$.

Внутри данного отрезка есть точка локального максимума $x = 1$, в которой значение функции равно $f(1) = 4$.

Сравнивая значения $\{3; 1,5; 4\}$, делаем вывод, что наибольшее значение на промежутке равно 4. Наименьшее значение на этом отрезке достигается на одном из его концов, и оно равно 1,5.

Ответ: наибольшее значение равно 4; наименьшее значение равно 1,5.

2. Функция f такова, что $f(-4) = -20$. Найдите $f(4)$, если функция f является:

1) чётной;

2) нечётной.

1) чётной
По определению, функция $f$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Нам дано, что $f(-4) = -20$.
Используя свойство чётной функции для $x=4$, получаем:
$f(4) = f(-4)$.
Так как $f(-4) = -20$, то $f(4) = -20$.
Ответ: -20

2) нечётной
По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Нам дано, что $f(-4) = -20$.
Используя свойство нечётной функции для $x=4$, получаем:
$f(-4) = -f(4)$.
Подставим известное значение $f(-4)$ в это равенство:
$-20 = -f(4)$.
Чтобы найти $f(4)$, умножим обе части уравнения на $-1$:
$f(4) = 20$.
Ответ: 20

3. Функция $g$ такова, что $g(-5)=4$. Найдите $g(5) \cdot g(-5)$, если функция $g$ является:

1) чётной;

2) нечётной.

1) чётной

По определению, чётная функция удовлетворяет равенству $g(x) = g(-x)$ для любого $x$ из области определения функции.

По условию задачи нам дано, что $g(-5) = 4$.

Поскольку функция $g$ является чётной, мы можем утверждать, что $g(5) = g(-5)$.

Следовательно, $g(5) = 4$.

Теперь мы можем найти значение искомого выражения $g(5) \cdot g(-5)$:

$g(5) \cdot g(-5) = 4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: 16

2) нечётной

По определению, нечётная функция удовлетворяет равенству $g(-x) = -g(x)$ для любого $x$ из области определения функции. Это равенство можно также записать в виде $g(x) = -g(-x)$.

По условию задачи нам дано, что $g(-5) = 4$.

Поскольку функция $g$ является нечётной, мы можем утверждать, что $g(5) = -g(-5)$.

Следовательно, $g(5) = -4$.

Теперь мы можем найти значение искомого выражения $g(5) \cdot g(-5)$:

$g(5) \cdot g(-5) = (-4) \cdot 4 = -16$.

Ответ: -16

4. Является ли нечётной функция, заданная формулой $y = x^3$, если её область определения — множество:

1) $(-5; 5)$;

2) $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$;

3) $(-4; 4]$?

Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если она удовлетворяет двум условиям:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля. Это означает, что для любого числа $x$ из области определения, число $-x$ также принадлежит области определения.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Сначала проверим второе условие для заданной функции $y = x^3$.

Пусть $f(x) = x^3$. Тогда $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.

С другой стороны, $-f(x) = -(x^3) = -x^3$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, второе условие нечётности для функции $y=x^3$ выполняется всегда. Таким образом, будет ли функция нечётной на заданном множестве, зависит только от того, является ли это множество (область определения) симметричным относительно нуля.

1) (-5; 5);

Область определения $D(y) = (-5; 5)$. Это интервал, симметричный относительно нуля. Если взять любое число $x$ из этого интервала (например, $x=4$), то противоположное ему число $-x$ (например, $-x=-4$) также будет принадлежать этому интервалу. Для любого $x$, такого что $-5 < x < 5$, выполняется и $-5 < -x < 5$. Таким образом, область определения симметрична. Оба условия нечётной функции выполнены.

Ответ: да.

2) (-∞; -1]∪[1; +∞);

Область определения $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Это множество также симметрично относительно нуля. Если $x$ принадлежит этому множеству (например, $x \ge 1$), то $-x$ также принадлежит ему (так как $-x \le -1$). И наоборот, если $x \le -1$, то $-x \ge 1$. Таким образом, область определения симметрична. Оба условия нечётной функции выполнены.

Ответ: да.

3) (-4; 4]?

Область определения $D(y) = (-4; 4]$. Это множество не является симметричным относительно нуля. Например, число $x=4$ принадлежит этой области определения (так как скобка квадратная), но противоположное ему число $-x=-4$ не принадлежит этой области (так как скобка круглая). Поскольку условие симметричности области определения не выполняется, функция на данном множестве не является нечётной.

Ответ: нет.