Страница 6 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. На рисунке 2 изображена часть графика функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-6; 6]$. Достройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 2

На рисунке изображена часть графика функции $y = g(x)$ для $x \in [0; 6]$. Необходимо достроить график на промежутке $[-6; 0]$ для двух случаев.

1) чётной

Функция называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $g(-x) = g(x)$. Область определения $D(g) = [-6; 6]$ симметрична относительно нуля.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Чтобы достроить график на промежутке $[-6; 0]$, нужно отразить заданную часть графика (на промежутке $[0; 6]$) симметрично относительно оси OY.

При симметричном отражении относительно оси OY точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; y)$. Ключевые точки на известной части графика: $(0; 0)$, $(2; 4)$ и $(6; 0)$.

• Точка $(0; 0)$ остаётся на месте.
• Точка $(2; 4)$ переходит в точку $(-2; 4)$.
• Точка $(6; 0)$ переходит в точку $(-6; 0)$.

Соединяем полученные точки, сохраняя форму линий. Отрезок, соединяющий $(2; 4)$ и $(6; 0)$, отражается в отрезок, соединяющий $(-2; 4)$ и $(-6; 0)$. Криволинейная часть от $(0; 0)$ до $(2; 4)$ отражается в кривую от $(0; 0)$ до $(-2; 4)$.

Ответ:

2) нечётной

Функция называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$. Область определения $D(g) = [-6; 6]$ симметрична относительно нуля.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0; 0)$). Чтобы достроить график на промежутке $[-6; 0]$, нужно отразить заданную часть графика (на промежутке $[0; 6]$) симметрично относительно начала координат.

При симметричном отражении относительно начала координат точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(-x; -y)$. Ключевые точки на известной части графика: $(0; 0)$, $(2; 4)$ и $(6; 0)$.

• Точка $(0; 0)$ остаётся на месте.
• Точка $(2; 4)$ переходит в точку $(-2; -4)$.
• Точка $(6; 0)$ переходит в точку $(-6; 0)$.

Соединяем полученные точки, сохраняя форму линий. Отрезок, соединяющий $(2; 4)$ и $(6; 0)$, отражается в отрезок, соединяющий $(-2; -4)$ и $(-6; 0)$. Криволинейная часть от $(0; 0)$ до $(2; 4)$ отражается в кривую от $(0; 0)$ до $(-2; -4)$.

Ответ:

11. О функции $f$, определённой на множестве $R$, известно, что $f(x) = x^2 + 2x$ при $x \le 0$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

По условию, функция $f(x)$ определена на множестве всех действительных чисел $R$, и для $x \le 0$ она задаётся формулой $f(x) = x^2 + 2x$.

Для построения полного графика функции, нам необходимо определить её вид при $x > 0$, используя свойства чётности и нечётности.

Сначала проанализируем заданную часть функции $f(x) = x^2 + 2x$ при $x \le 0$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдём вершину этой параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
Найдём нули функции на этом промежутке: $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$. Корни $x_1=0$ и $x_2=-2$. Оба корня принадлежат промежутку $x \le 0$.

1) чётной
Если функция $f(x)$ является чётной, то для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Нам нужно найти вид функции для $x > 0$. Возьмём любое $x > 0$. Тогда $-x < 0$.
По определению чётной функции, $f(x) = f(-x)$.
Так как $-x < 0$, для нахождения $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу, подставив в неё $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$.
Следовательно, при $x > 0$, функция имеет вид $f(x) = x^2 - 2x$.
Таким образом, для чётной функции мы получаем кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} x^2+2x, & \text{при } x \le 0 \\ x^2-2x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$
Для построения графика при $x > 0$ мы строим график функции $y = x^2 - 2x$. Это парабола с ветвями вверх. Её вершина находится в точке $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_0 = 1^2 - 2(1) = -1$, то есть в точке $(1, -1)$. Нули функции: $x(x-2)=0$, т.е. $x=0$ и $x=2$.
Объединяя обе части, мы получаем график, симметричный относительно оси OY.
Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x \le 0$ это часть параболы $y=x^2+2x$ с вершиной в точке $(-1, -1)$ и проходящая через точки $(0,0)$ и $(-2,0)$. При $x > 0$ это часть параболы $y=x^2-2x$ с вершиной в точке $(1, -1)$ и проходящая через точки $(0,0)$ и $(2,0)$. График симметричен относительно оси ординат.

2) нечётной
Если функция $f(x)$ является нечётной, то для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).
Нам нужно найти вид функции для $x > 0$. Возьмём любое $x > 0$, тогда $-x < 0$.
По определению нечётной функции, $f(x) = -f(-x)$.
Как и в предыдущем пункте, мы можем найти $f(-x)$, так как $-x < 0$:
$f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$.
Тогда для $x > 0$ получаем:
$f(x) = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$.
Таким образом, для нечётной функции мы получаем кусочно-заданную функцию: $f(x) = \begin{cases} x^2+2x, & \text{при } x \le 0 \\ -x^2+2x, & \text{при } x > 0 \end{cases}$
Для построения графика при $x > 0$ мы строим график функции $y = -x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями вниз. Её вершина находится в точке $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$, $y_0 = -(1)^2 + 2(1) = 1$, то есть в точке $(1, 1)$. Нули функции: $-x(x-2)=0$, т.е. $x=0$ и $x=2$.
Объединяя обе части, мы получаем график, симметричный относительно начала координат.
Ответ: График функции состоит из двух частей парабол. При $x \le 0$ это часть параболы $y=x^2+2x$ с вершиной в точке $(-1, -1)$ и проходящая через точки $(0,0)$ и $(-2,0)$. При $x > 0$ это часть параболы $y=-x^2+2x$ с ветвями вниз, с вершиной в точке $(1, 1)$ и проходящая через точки $(0,0)$ и $(2,0)$. График симметричен относительно начала координат.

12. При каких значениях $с$ наименьшее значение функции $y=3x^2-6x-c$ равно $-4$?

Функция $y = 3x^2 - 6x - c$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 3 > 0$). Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае коэффициенты равны $a = 3$, $b = -6$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наименьшим значением функции. Для этого подставим $x_0 = 1$ в уравнение функции:

$y_0 = 3(1)^2 - 6(1) - c = 3 - 6 - c = -3 - c$.

По условию задачи, наименьшее значение функции равно -4. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$-3 - c = -4$

Перенесем -3 в правую часть уравнения:

$-c = -4 + 3$

$-c = -1$

$c = 1$

Ответ: 1

13. Сумма двух чисел равна 14. Какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел?

Пусть два числа будут $x$ и $y$.

По условию задачи, их сумма равна 14:

$x + y = 14$

Нам нужно найти наибольшее значение их произведения $P = x \cdot y$.

Для решения этой задачи можно использовать несколько способов.

Способ 1: Алгебраический (через функцию)

1. Выразим одну переменную через другую из уравнения суммы: $y = 14 - x$.

2. Подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию от одной переменной:

$P(x) = x \cdot (14 - x) = 14x - x^2$

3. Мы получили квадратичную функцию $P(x) = -x^2 + 14x$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный). Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

4. Координата $x_0$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 14$.

$x_0 = -14 / (2 \cdot (-1)) = -14 / (-2) = 7$

5. Таким образом, при $x = 7$ произведение будет максимальным. Найдем второе число:

$y = 14 - x = 14 - 7 = 7$

6. Наибольшее значение произведения равно:

$P_{max} = 7 \cdot 7 = 49$

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Для любых неотрицательных чисел $x$ и $y$ среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:

$(x + y) / 2 \ge \sqrt{xy}$

Подставим известное значение суммы $x + y = 14$:

$14 / 2 \ge \sqrt{xy}$

$7 \ge \sqrt{xy}$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$49 \ge xy$

Это означает, что произведение $xy$ не может быть больше 49. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $x = y$.

Поскольку $x + y = 14$ и $x = y$, то $2x = 14$, откуда $x = 7$. Следовательно, $y = 7$.

Наибольшее значение произведения равно $7 \cdot 7 = 49$.

Оба способа показывают, что произведение двух чисел с фиксированной суммой максимально, когда эти числа равны друг другу.

Ответ: 49

14. Нечётная функция $f$ имеет 11 нулей. Найдите $f'(0)$.

По определению, нечётная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её области определения. Предполагается, что функция определена в точке $x=0$, так как требуется найти $f(0)$.

Подставим $x=0$ в определение нечётной функции:

$f(-0) = -f(0)$

Так как $-0 = 0$, уравнение принимает вид:

$f(0) = -f(0)$

Перенеся $-f(0)$ в левую часть, получим:

$f(0) + f(0) = 0$

$2 \cdot f(0) = 0$

Отсюда следует, что $f(0) = 0$.

Таким образом, любая нечётная функция, которая определена в точке ноль, обязательно имеет в этой точке значение, равное нулю. Информация о том, что у функции 11 нулей, является дополнительной. Она подтверждает, что $x=0$ является одним из нулей, так как все остальные нули нечётной функции должны быть симметричны относительно начала координат и, следовательно, идти парами $(x_k, -x_k)$, образуя чётное число. Поскольку общее число нулей нечётно (11), один из них обязательно должен быть $x=0$.

Ответ: 0

15. Функция $f$ такова, что $\min_{[5;7]} f(x) = -1$, $\max_{[5;7]} f(x) = 4.$

Найдите $\min_{[-7;-5]} f(x)$, $\max_{[-7;-5]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

По условию задачи, для функции $f(x)$ на отрезке $[5; 7]$ известны её наименьшее и наибольшее значения:

$\min_{x \in [5; 7]} f(x) = -1$

$\max_{x \in [5; 7]} f(x) = 4$

Это означает, что для любого $x_0 \in [5; 7]$ выполняется двойное неравенство $-1 \le f(x_0) \le 4$. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на симметричном отрезке $[-7; -5]$.

1) f – чётная функция

Чётная функция по определению удовлетворяет свойству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Пусть $x$ — любое число из отрезка $[-7; -5]$. Тогда $-7 \le x \le -5$. Умножив это неравенство на -1, получим $5 \le -x \le 7$. Это означает, что число $-x$ принадлежит отрезку $[5; 7]$.

Так как функция $f$ чётная, то $f(x) = f(-x)$. Поскольку $-x \in [5; 7]$, значения $f(-x)$ принадлежат отрезку $[-1; 4]$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ на отрезке $[-7; -5]$ совпадает с множеством её значений на отрезке $[5; 7]$.

Таким образом, наименьшее и наибольшее значения на отрезке $[-7; -5]$ будут такими же, как и на отрезке $[5; 7]$.

$\min_{x \in [-7; -5]} f(x) = \min_{x \in [5; 7]} f(x) = -1$

$\max_{x \in [-7; -5]} f(x) = \max_{x \in [5; 7]} f(x) = 4$

Ответ: $\min_{x \in [-7; -5]} f(x) = -1$, $\max_{x \in [-7; -5]} f(x) = 4$.

2) f – нечётная функция

Нечётная функция по определению удовлетворяет свойству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Пусть $x$ — любое число из отрезка $[-7; -5]$. Тогда число $-x$ принадлежит отрезку $[5; 7]$.

Из свойства нечётности следует, что $f(x) = -f(-x)$.

Поскольку $-x \in [5; 7]$, мы знаем, что значения $f(-x)$ лежат в пределах от -1 до 4, то есть:

$-1 \le f(-x) \le 4$

Чтобы найти диапазон значений для $f(x)$, нам нужно найти диапазон значений для $-f(-x)$. Умножим данное двойное неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot (-1) \ge -f(-x) \ge -1 \cdot 4$

$1 \ge -f(-x) \ge -4$

Поскольку $f(x) = -f(-x)$, мы можем заменить $-f(-x)$ на $f(x)$:

$1 \ge f(x) \ge -4$

Записав в стандартном порядке, получаем:

$-4 \le f(x) \le 1$

Это означает, что наименьшее значение функции на отрезке $[-7; -5]$ равно -4, а наибольшее — 1.

Наименьшее значение на отрезке $[-7; -5]$ равно противополжному значению от наибольшего на $[5; 7]$:

$\min_{x \in [-7; -5]} f(x) = - \max_{x \in [5; 7]} f(x) = -4$

Наибольшее значение на отрезке $[-7; -5]$ равно противополжному значению от наименьшего на $[5; 7]$:

$\max_{x \in [-7; -5]} f(x) = - \min_{x \in [5; 7]} f(x) = -(-1) = 1$

Ответ: $\min_{x \in [-7; -5]} f(x) = -4$, $\max_{x \in [-7; -5]} f(x) = 1$.

16. При каких значениях a функция $f(x) = -5x^2 + 7ax - 4$ является чётной?

По определению, функция $f(x)$ является чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также её область определения должна быть симметрична относительно начала координат.

Рассмотрим заданную функцию $f(x) = -5x^2 + 7ax - 4$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$), которое симметрично относительно нуля. Первое условие выполнено.

Для выполнения второго условия необходимо, чтобы $f(-x) = f(x)$ для всех $x$.

Найдём выражение для $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в исходную функцию:
$f(-x) = -5(-x)^2 + 7a(-x) - 4 = -5x^2 - 7ax - 4$.

Теперь приравняем выражения для $f(x)$ и $f(-x)$:
$-5x^2 + 7ax - 4 = -5x^2 - 7ax - 4$.

Упростим полученное равенство. Для этого прибавим к обеим частям $5x^2$ и $4$:
$7ax = -7ax$.

Перенесём все члены в левую часть:
$7ax + 7ax = 0$
$14ax = 0$.

Данное равенство должно быть верным для любого значения $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю:
$14a = 0$
$a = 0$.

Следовательно, функция является чётной только при $a=0$.

Ответ: $0$.