Страница 7 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. На рисунке 3 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 2;$

2) $y = f(x + 2);$

3) $y = 4 - f(x);$

4) $y = f(-2x).$

Рис. 3

Для решения задачи сначала определим вид исходной функции $y = f(x)$, график которой изображен на рисунке. Из графика видно, что он проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (4, 2). Эти точки удовлетворяют уравнению функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$:

• При $x = 0$, $y = \sqrt{0} = 0$.
• При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$.
• При $x = 4$, $y = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, исходная функция - это $f(x) = \sqrt{x}$ с областью определения $x \ge 0$. Теперь построим графики для каждой из заданных функций, используя правила преобразования графиков.

1) y = f(x) + 2

Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $c = 2$. Чтобы построить график функции $y = f(x) + 2$, необходимо сдвинуть (параллельно перенести) график исходной функции $y = f(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0, y_0 + 2)$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0, 0 + 2) = (0, 2)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, 1 + 2) = (1, 3)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, 2 + 2) = (4, 4)

Новый график будет начинаться в точке (0, 2) и проходить через точки (1, 3) и (4, 4), сохраняя свою форму.

Ответ: График функции $y = f(x) + 2$ получается путем сдвига графика $y = f(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2) y = f(x + 2)

Это преобразование вида $y = f(x + c)$, где $c = 2$. Чтобы построить график функции $y = f(x + 2)$, необходимо сдвинуть график исходной функции $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0 - 2, y_0)$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0 - 2, 0) = (-2, 0)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1 - 2, 1) = (-1, 1)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4 - 2, 2) = (2, 2)

Новый график будет начинаться в точке (-2, 0) и проходить через точки (-1, 1) и (2, 2). Область определения функции изменится на $x \ge -2$.

Ответ: График функции $y = f(x + 2)$ получается путем сдвига графика $y = f(x)$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

3) y = 4 - f(x)

Это преобразование можно представить в виде $y = -f(x) + 4$. Оно выполняется в два шага:
1. Отражение графика $y = f(x)$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -f(x)$.
2. Сдвиг полученного графика $y = -f(x)$ на 4 единицы вверх вдоль оси Oy. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0, -y_0 + 4)$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0, -0 + 4) = (0, 4)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1, -1 + 4) = (1, 3)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, -2 + 4) = (4, 2)

Новый график будет начинаться в точке (0, 4), являясь перевернутой и смещенной вверх ветвью исходной функции.

Ответ: График функции $y = 4 - f(x)$ получается путем симметричного отражения графика $y = f(x)$ относительно оси Ox с последующим сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

4) y = f(-2x)

Это преобразование вида $y = f(kx)$, где $k = -2$. Оно также выполняется в два шага:
1. Отражение графика $y = f(x)$ симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y = f(-x)$.
2. Сжатие полученного графика $y = f(-x)$ к оси Oy в 2 раза (поскольку $|k| = 2 > 1$). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0 / (-2), y_0)$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• (0, 0) $\rightarrow$ (0 / (-2), 0) = (0, 0)
• (1, 1) $\rightarrow$ (1 / (-2), 1) = (-0.5, 1)
• (4, 2) $\rightarrow$ (4 / (-2), 2) = (-2, 2)

Новый график будет начинаться в точке (0, 0), проходить через точки (-0.5, 1) и (-2, 2) и будет расположен в левой полуплоскости. Область определения функции изменится на $x \le 0$.

Ответ: График функции $y = f(-2x)$ получается путем симметричного отражения графика $y = f(x)$ относительно оси Oy с последующим сжатием к оси Oy в 2 раза.

18. Постройте график функции:

1) $y = \frac{6}{x};$

2) $y = \frac{6}{x} - 1;$

3) $y = \frac{6}{x - 1};$

4) $y = \frac{6}{1 - x};$

5) $y = \frac{6x}{x - 1}.$

1) $y = \frac{6}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола.

Основные свойства:

• Область определения: $D(y): x \neq 0$.
• Область значений: $E(y): y \neq 0$.
• Вертикальная асимптота: ось Oy, её уравнение $x=0$.
• Горизонтальная асимптота: ось Ox, её уравнение $y=0$.
• Поскольку коэффициент $k=6 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений для одной из ветвей, например, для $x > 0$:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Вторую ветвь (для $x < 0$) можно построить, используя свойство симметрии графика относительно начала координат (функция нечётная). Точки для второй ветви будут $(-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1)$.

Ответ: Графиком является гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2) $y = \frac{6}{x} - 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{6}{x}$ (рассмотренного в пункте 1) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy.

Для построения графика $y = \frac{6}{x} - 1$ необходимо:

1. Построить график базовой функции $y = \frac{6}{x}$.
2. Сдвинуть построенный график на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

При этом сдвиге:

• Вертикальная асимптота не изменится: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота сдвинется на 1 единицу вниз и станет $y=-1$.

Ответ: Графиком является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$, горизонтальная асимптота: $y=-1$.

3) $y = \frac{6}{x-1}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{6}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Ox.

Для построения графика $y = \frac{6}{x-1}$ необходимо:

1. Построить график базовой функции $y = \frac{6}{x}$.
2. Сдвинуть построенный график на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

При этом сдвиге:

• Вертикальная асимптота сдвинется на 1 единицу вправо и станет $x=1$.
• Горизонтальная асимптота не изменится: $y=0$.

Ответ: Графиком является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота: $x=1$, горизонтальная асимптота: $y=0$.

4) $y = \frac{6}{1-x}$

Преобразуем данную функцию: $y = \frac{6}{1-x} = \frac{6}{-(x-1)} = -\frac{6}{x-1}$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика $y = \frac{6}{x}$ на 1 единицу вправо. Получим график функции $y = \frac{6}{x-1}$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox. Это даст нам искомый график $y = -\frac{6}{x-1}$.

В результате этих преобразований:

• Асимптоты графика $y = \frac{6}{x-1}$ это $x=1$ и $y=0$. Эти асимптоты сохранятся и для функции $y = -\frac{6}{x-1}$.
• Ветви гиперболы $y = \frac{6}{x-1}$ располагались в I и III четвертях относительно своих асимптот. После отражения относительно оси Ox, ветви графика $y = -\frac{6}{x-1}$ будут располагаться во II и IV четвертях относительно асимптот $x=1$ и $y=0$.

Ответ: Графиком является гипербола. Вертикальная асимптота: $x=1$, горизонтальная асимптота: $y=0$. Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами.

5) $y = \frac{6x}{x-1}$

Для построения графика преобразуем данную дробно-рациональную функцию, выделив целую часть: $y = \frac{6x}{x-1} = \frac{6x - 6 + 6}{x-1} = \frac{6(x-1) + 6}{x-1} = \frac{6(x-1)}{x-1} + \frac{6}{x-1} = 6 + \frac{6}{x-1}$.

Таким образом, мы получили функцию $y = \frac{6}{x-1} + 6$. Её график можно получить из графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$ с помощью двух параллельных переносов:

1. Сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвиг на 6 единиц вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
• Горизонтальная асимптота: $y=6$.

Ветви гиперболы будут расположены в I и III четвертях относительно новой системы координат с центром в точке пересечения асимптот $(1, 6)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{6 \cdot 0}{0-1} = 0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.
• С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{6x}{x-1} \Rightarrow 6x=0 \Rightarrow x=0$. Точка пересечения та же - $(0,0)$.

Ответ: Графиком является гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 1 единицу вправо и на 6 единиц вверх. Вертикальная асимптота: $x=1$, горизонтальная асимптота: $y=6$.

19. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x + 2};$

2) $y = \sqrt{x + 3};$

3) $y = \sqrt{x - 1} - 1;$

4) $y = 2 - \sqrt{x - 1};$

5) $y = 2 + \sqrt{-x - 1}.$

1) $y = \sqrt{x + 2}$

Для построения графика данной функции используем метод преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2) и так далее.
Функция $y = \sqrt{x + 2}$ имеет вид $f(x+c)$, что соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ на $c$ единиц влево. В нашем случае $c=2$, следовательно, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 2 единицы влево вдоль оси Ox.
Найдем область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Таким образом, область определения $D(y) = [-2; +\infty)$.
Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
Найдем координаты нескольких точек для построения:
- Начальная точка: при $x = -2$, $y = \sqrt{-2 + 2} = 0$. Точка (-2, 0).
- При $x = -1$, $y = \sqrt{-1 + 2} = 1$. Точка (-1, 1).
- При $x = 2$, $y = \sqrt{2 + 2} = 2$. Точка (2, 2).
- При $x = 7$, $y = \sqrt{7 + 2} = 3$. Точка (7, 3).
Построим график, соединив эти точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 2}$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы влево по оси Ox. Начало графика в точке (-2, 0).

2) $y = \sqrt{x + 3}$

Аналогично предыдущему пункту, построим график этой функции путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$.
Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x+c)$, где $c=3$. Это означает, что график базовой функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть на 3 единицы влево вдоль оси Ox.
Область определения: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
$D(y) = [-3; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Координаты ключевых точек:
- Начальная точка: при $x = -3$, $y = \sqrt{-3 + 3} = 0$. Точка (-3, 0).
- При $x = -2$, $y = \sqrt{-2 + 3} = 1$. Точка (-2, 1).
- При $x = 1$, $y = \sqrt{1 + 3} = 2$. Точка (1, 2).
- При $x = 6$, $y = \sqrt{6 + 3} = 3$. Точка (6, 3).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + 3}$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 3 единицы влево по оси Ox. Начало графика в точке (-3, 0).

3) $y = \sqrt{x - 1} - 1$

График данной функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ с помощью двух последовательных преобразований.
1. Сдвиг по горизонтали: $y = \sqrt{x - 1}$. Это сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвиг по вертикали: $y = \sqrt{x - 1} - 1$. Это сдвиг полученного на первом шаге графика на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
Область определения: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
$D(y) = [1; +\infty)$.
Область значений: так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $y \ge -1$.
$E(y) = [-1; +\infty)$.
Координаты ключевых точек:
- Начальная точка: при $x = 1$, $y = \sqrt{1 - 1} - 1 = -1$. Точка (1, -1).
- При $x = 2$, $y = \sqrt{2 - 1} - 1 = 0$. Точка (2, 0).
- При $x = 5$, $y = \sqrt{5 - 1} - 1 = 1$. Точка (5, 1).
- При $x = 10$, $y = \sqrt{10 - 1} - 1 = 2$. Точка (10, 2).

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 1} - 1$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Начало графика в точке (1, -1).

4) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$

Построение этого графика из $y = \sqrt{x}$ включает несколько преобразований.
1. Сдвиг по горизонтали: $y = \sqrt{x - 1}$. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо.
2. Отражение: $y = -\sqrt{x - 1}$. График, полученный на шаге 1, симметрично отражается относительно оси Ox.
3. Сдвиг по вертикали: $y = -\sqrt{x - 1} + 2$. График, полученный на шаге 2, сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
Область определения: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
$D(y) = [1; +\infty)$.
Область значений: так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $-\sqrt{x-1} \le 0$, и $y \le 2$.
$E(y) = (-\infty; 2]$.
Координаты ключевых точек:
- Начальная точка: при $x = 1$, $y = 2 - \sqrt{1 - 1} = 2$. Точка (1, 2).
- При $x = 2$, $y = 2 - \sqrt{2 - 1} = 1$. Точка (2, 1).
- При $x = 5$, $y = 2 - \sqrt{5 - 1} = 0$. Точка (5, 0).
- При $x = 10$, $y = 2 - \sqrt{10 - 1} = -1$. Точка (10, -1).

Ответ: График функции $y = 2 - \sqrt{x - 1}$ является графиком $y = \sqrt{x}$, который сдвинут на 1 единицу вправо, отражен относительно оси Ox и затем сдвинут на 2 единицы вверх. Начало графика в точке (1, 2), ветви направлены вниз.

5) $y = 2 + \sqrt{-x - 1}$

Построение этого графика из $y = \sqrt{x}$ также включает несколько преобразований. Выражение под корнем можно записать как $\sqrt{-(x+1)}$.
1. Сдвиг по горизонтали: $y = \sqrt{x+1}$. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево.
2. Отражение: $y = \sqrt{-(x+1)} = \sqrt{-x-1}$. График, полученный на шаге 1, симметрично отражается относительно оси Oy.
3. Сдвиг по вертикали: $y = 2 + \sqrt{-x - 1}$. График, полученный на шаге 2, сдвигается на 2 единицы вверх.
Область определения: $-x - 1 \ge 0 \implies -x \ge 1 \implies x \le -1$.
$D(y) = (-\infty; -1]$.
Область значений: так как $\sqrt{-x-1} \ge 0$, то $y \ge 2$.
$E(y) = [2; +\infty)$.
Координаты ключевых точек:
- Начальная точка: при $x = -1$, $y = 2 + \sqrt{-(-1) - 1} = 2$. Точка (-1, 2).
- При $x = -2$, $y = 2 + \sqrt{-(-2) - 1} = 3$. Точка (-2, 3).
- При $x = -5$, $y = 2 + \sqrt{-(-5) - 1} = 4$. Точка (-5, 4).
- При $x = -10$, $y = 2 + \sqrt{-(-10) - 1} = 5$. Точка (-10, 5).

Ответ: График функции $y = 2 + \sqrt{-x - 1}$ является графиком $y = \sqrt{x}$, который сдвинут на 1 единицу влево, отражен относительно оси Oy и затем сдвинут на 2 единицы вверх. Начало графика в точке (-1, 2), ветви направлены влево.

20. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x}$;

2) $y = \sqrt{-\frac{3}{2}}x$.

1) $y = \sqrt{2x}$

Для построения графика данной функции необходимо сначала определить ее область определения. Затем нужно найти координаты нескольких точек, принадлежащих графику, и, соединив их плавной линией, построить сам график.

Область определения функции

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть:

$2x \ge 0$

Разделив обе части неравенства на 2, получаем:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения функции — все неотрицательные числа, или $D(y) = [0, +\infty)$. Это означает, что график функции будет расположен в первой координатной четверти.

Нахождение точек для построения графика

Составим таблицу значений, выбирая удобные значения $x$ из области определения:

• При $x=0$, $y = \sqrt{2 \cdot 0} = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку (0; 0).
• При $x=0.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 0.5} = \sqrt{1} = 1$. Получаем точку (0.5; 1).
• При $x=2$, $y = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку (2; 2).
• При $x=4.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 4.5} = \sqrt{9} = 3$. Получаем точку (4.5; 3).
• При $x=8$, $y = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$. Получаем точку (8; 4).

Построение графика

Отметим найденные точки (0; 0), (0.5; 1), (2; 2), (4.5; 3), (8; 4) на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2x}$ является ветвью параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через точки (0.5; 1), (2; 2), (4.5; 3), (8; 4) в первой координатной четверти.

2) $y = \sqrt{-\frac{3}{2}x}$

Аналогично предыдущему пункту, определим область определения функции и найдем координаты нескольких точек для построения графика.

Область определения функции

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$-\frac{3}{2}x \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{3}{2}x \le 0$

Разделив на $\frac{3}{2}$, получаем:

$x \le 0$

Таким образом, область определения функции — все неположительные числа, или $D(y) = (-\infty, 0]$. Это означает, что график функции будет расположен во второй координатной четверти.

Нахождение точек для построения графика

Составим таблицу значений, выбирая удобные значения $x$ из области определения ($x \le 0$):

• При $x=0$, $y = \sqrt{-\frac{3}{2} \cdot 0} = \sqrt{0} = 0$. Получаем точку (0; 0).
• При $x=-\frac{2}{3}$, $y = \sqrt{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3})} = \sqrt{1} = 1$. Получаем точку (-2/3; 1).
• При $x=-\frac{8}{3}$, $y = \sqrt{-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{8}{3})} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку (-8/3; 2) или примерно (-2.67; 2).
• При $x=-6$, $y = \sqrt{-\frac{3}{2} \cdot (-6)} = \sqrt{9} = 3$. Получаем точку (-6; 3).

Построение графика

Отметим найденные точки (0; 0), (-2/3; 1), (-8/3; 2), (-6; 3) на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат и направленную влево.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-\frac{3}{2}x}$ является ветвью параболы, которая начинается в точке (0; 0) и проходит через точки (-2/3; 1), (-8/3; 2), (-6; 3) во второй координатной четверти.

21. Постройте график функции:

1) $y=(3x+1)^2-2;$

2) $y=\left(\frac{1}{3}x+1\right)^2-2.$

1) $y = (3x + 1)^2 - 2$

Графиком данной функции является парабола. Для ее построения необходимо выполнить анализ функции и найти ее ключевые точки. Функция представлена в виде $y = a(kx+b)^2+c$, что является преобразованием базовой параболы $y=x^2$.

Преобразуем функцию к стандартному виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы:

$y = (3(x + \frac{1}{3}))^2 - 2 = 3^2(x + \frac{1}{3})^2 - 2 = 9(x - (-\frac{1}{3}))^2 - 2$

Из этого вида можно определить характеристики параболы:

1. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ равны $(-\frac{1}{3}, -2)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент при квадрате $a=9$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола будет "сжата" к оси OY в 9 раз по сравнению с $y=x^2$.
3. Ось симметрии: Вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = -\frac{1}{3}$.
4. Точки пересечения с осями координат:
   • Пересечение с осью OY (при $x=0$):
     $y = (3 \cdot 0 + 1)^2 - 2 = 1^2 - 2 = -1$.
     Точка пересечения с OY: $(0, -1)$.
   • Пересечение с осью OX (при $y=0$):
     $0 = (3x + 1)^2 - 2$
     $(3x + 1)^2 = 2$
     $3x + 1 = \pm\sqrt{2}$
     $3x = -1 \pm\sqrt{2}$
     $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{2}}{3} \approx -0.8$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{3} \approx 0.14$.
     Точки пересечения с OX: $(\frac{-1 - \sqrt{2}}{3}, 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{2}}{3}, 0)$.
5. Дополнительная точка: Найдем точку, симметричную точке $(0, -1)$ относительно оси симметрии $x = -\frac{1}{3}$. Ее абсцисса будет $x = -\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3} - 0) = -\frac{2}{3}$. Ордината будет та же: $y=-1$. Получаем точку $(-\frac{2}{3}, -1)$.

Для построения графика отмечаем на координатной плоскости вершину, точки пересечения с осями и дополнительные точки, после чего соединяем их плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{3}, -2)$, ветви которой направлены вверх.

2) $y = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 2$

Графиком этой функции также является парабола. Проведем ее анализ аналогично предыдущему пункту.

Преобразуем функцию к стандартному виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$:

$y = (\frac{1}{3}(x + 3))^2 - 2 = (\frac{1}{3})^2(x + 3)^2 - 2 = \frac{1}{9}(x - (-3))^2 - 2$

Характеристики параболы:

1. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ равны $(-3, -2)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент при квадрате $a=\frac{1}{9}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола будет "расширена" в 9 раз по сравнению с $y=x^2$.
3. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = -3$.
4. Точки пересечения с осями координат:
   • Пересечение с осью OY (при $x=0$):
     $y = (\frac{1}{3} \cdot 0 + 1)^2 - 2 = 1^2 - 2 = -1$.
     Точка пересечения с OY: $(0, -1)$.
   • Пересечение с осью OX (при $y=0$):
     $0 = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 2$
     $(\frac{1}{3}x + 1)^2 = 2$
     $\frac{1}{3}x + 1 = \pm\sqrt{2}$
     $\frac{1}{3}x = -1 \pm\sqrt{2}$
     $x = 3(-1 \pm\sqrt{2}) = -3 \pm 3\sqrt{2}$.
     $x_1 = -3 - 3\sqrt{2} \approx -7.24$ и $x_2 = -3 + 3\sqrt{2} \approx 1.24$.
     Точки пересечения с OX: $(-3 - 3\sqrt{2}, 0)$ и $(-3 + 3\sqrt{2}, 0)$.
5. Дополнительная точка: Найдем точку, симметричную точке $(0, -1)$ относительно оси симметрии $x = -3$. Ее абсцисса будет $x = -3 + (-3 - 0) = -6$. Ордината будет та же: $y=-1$. Получаем точку $(-6, -1)$.

Для построения графика отмечаем на координатной плоскости найденные точки (вершину, точки пересечения с осями, симметричную точку) и проводим через них параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-3, -2)$, ветви которой направлены вверх.