Номер 21, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Постройте график функции:

1) $y=(3x+1)^2-2;$

2) $y=\left(\frac{1}{3}x+1\right)^2-2.$

1) $y = (3x + 1)^2 - 2$

Графиком данной функции является парабола. Для ее построения необходимо выполнить анализ функции и найти ее ключевые точки. Функция представлена в виде $y = a(kx+b)^2+c$, что является преобразованием базовой параболы $y=x^2$.

Преобразуем функцию к стандартному виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы:

$y = (3(x + \frac{1}{3}))^2 - 2 = 3^2(x + \frac{1}{3})^2 - 2 = 9(x - (-\frac{1}{3}))^2 - 2$

Из этого вида можно определить характеристики параболы:

1. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ равны $(-\frac{1}{3}, -2)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент при квадрате $a=9$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола будет "сжата" к оси OY в 9 раз по сравнению с $y=x^2$.
3. Ось симметрии: Вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = -\frac{1}{3}$.
4. Точки пересечения с осями координат:
   • Пересечение с осью OY (при $x=0$):
     $y = (3 \cdot 0 + 1)^2 - 2 = 1^2 - 2 = -1$.
     Точка пересечения с OY: $(0, -1)$.
   • Пересечение с осью OX (при $y=0$):
     $0 = (3x + 1)^2 - 2$
     $(3x + 1)^2 = 2$
     $3x + 1 = \pm\sqrt{2}$
     $3x = -1 \pm\sqrt{2}$
     $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{2}}{3} \approx -0.8$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{2}}{3} \approx 0.14$.
     Точки пересечения с OX: $(\frac{-1 - \sqrt{2}}{3}, 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{2}}{3}, 0)$.
5. Дополнительная точка: Найдем точку, симметричную точке $(0, -1)$ относительно оси симметрии $x = -\frac{1}{3}$. Ее абсцисса будет $x = -\frac{1}{3} + (-\frac{1}{3} - 0) = -\frac{2}{3}$. Ордината будет та же: $y=-1$. Получаем точку $(-\frac{2}{3}, -1)$.

Для построения графика отмечаем на координатной плоскости вершину, точки пересечения с осями и дополнительные точки, после чего соединяем их плавной линией.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{3}, -2)$, ветви которой направлены вверх.

2) $y = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 2$

Графиком этой функции также является парабола. Проведем ее анализ аналогично предыдущему пункту.

Преобразуем функцию к стандартному виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$:

$y = (\frac{1}{3}(x + 3))^2 - 2 = (\frac{1}{3})^2(x + 3)^2 - 2 = \frac{1}{9}(x - (-3))^2 - 2$

Характеристики параболы:

1. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ равны $(-3, -2)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент при квадрате $a=\frac{1}{9}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Парабола будет "расширена" в 9 раз по сравнению с $y=x^2$.
3. Ось симметрии: Вертикальная прямая $x = -3$.
4. Точки пересечения с осями координат:
   • Пересечение с осью OY (при $x=0$):
     $y = (\frac{1}{3} \cdot 0 + 1)^2 - 2 = 1^2 - 2 = -1$.
     Точка пересечения с OY: $(0, -1)$.
   • Пересечение с осью OX (при $y=0$):
     $0 = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 2$
     $(\frac{1}{3}x + 1)^2 = 2$
     $\frac{1}{3}x + 1 = \pm\sqrt{2}$
     $\frac{1}{3}x = -1 \pm\sqrt{2}$
     $x = 3(-1 \pm\sqrt{2}) = -3 \pm 3\sqrt{2}$.
     $x_1 = -3 - 3\sqrt{2} \approx -7.24$ и $x_2 = -3 + 3\sqrt{2} \approx 1.24$.
     Точки пересечения с OX: $(-3 - 3\sqrt{2}, 0)$ и $(-3 + 3\sqrt{2}, 0)$.
5. Дополнительная точка: Найдем точку, симметричную точке $(0, -1)$ относительно оси симметрии $x = -3$. Ее абсцисса будет $x = -3 + (-3 - 0) = -6$. Ордината будет та же: $y=-1$. Получаем точку $(-6, -1)$.

Для построения графика отмечаем на координатной плоскости найденные точки (вершину, точки пересечения с осями, симметричную точку) и проводим через них параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-3, -2)$, ветви которой направлены вверх.