Номер 24, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 4, являются обратимыми?

Рис. 4

а

б

в

Функция является обратимой, если она взаимно-однозначна, то есть каждому значению из области значений соответствует ровно одно значение из области определения. Графически это свойство проверяется с помощью теста горизонтальной линии: если любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более чем в одной точке, то функция является обратимой. Другими словами, функция должна быть строго монотонной (либо строго возрастать, либо строго убывать) на всей своей области определения.

а
Рассмотрим график функции на рисунке а. Эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Применяя тест горизонтальной линии, мы видим, что любая горизонтальная прямая пересечет график этой функции ровно в одной точке. Следовательно, функция является взаимно-однозначной и, значит, обратимой.
Ответ: функция обратима.

б
Рассмотрим график функции на рисунке б. Это парабола, симметричная относительно оси $Oy$. Эта функция не является строго монотонной на всей области определения (она убывает при $x<0$ и возрастает при $x>0$). Горизонтальная прямая, заданная уравнением $y=c$ (где $c>0$), пересечет график в двух точках. Например, для разных значений аргумента $x_1 = -a$ и $x_2 = a$ (где $a \ne 0$) функция принимает одно и то же значение. Это означает, что функция не является взаимно-однозначной, а значит, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

в
Рассмотрим график функции на рисунке в. Эта функция является постоянной на отрезке $[-2; 2]$: для всех $x \in [-2; 2]$ значение функции равно 2, то есть $y=2$. Горизонтальная прямая $y=2$ совпадает с графиком функции на всем отрезке, то есть пересекает его в бесконечном множестве точек. Таким образом, разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.