Номер 29, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y=0,5x-2$;

2) $y=x^2-4$, если $x \ge 0$.

1) $y = 0,5x - 2$

Данная функция $y = 0,5x - 2$ является линейной, ее график – прямая линия. Для построения найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.

Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0; -2)$.

Если $x = 4$, то $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(4; 0)$.

Теперь найдем функцию, обратную к данной. Для этого в уравнении $y = 0,5x - 2$ выразим $x$ через $y$, а затем поменяем переменные местами.

$0,5x = y + 2$

$x = 2(y + 2)$

$x = 2y + 4$

Поменяв $x$ и $y$ местами, получаем обратную функцию: $y = 2x + 4$.

График обратной функции также является прямой линией. Найдем две точки для ее построения.

Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$. Получаем точку $(0; 4)$.

Если $x = -2$, то $y = 2 \cdot (-2) + 4 = -4 + 4 = 0$. Получаем точку $(-2; 0)$.

Можно заметить, что координаты точек для обратной функции получаются путем перестановки координат соответствующих точек исходной функции: $(0; -2) \rightarrow (-2; 0)$ и $(4; 0) \rightarrow (0; 4)$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Таким образом, для построения в одной системе координат необходимо начертить прямую, проходящую через точки $(0; -2)$ и $(4; 0)$, и прямую, проходящую через точки $(-2; 0)$ и $(0; 4)$.

Ответ: Обратная функция: $y = 2x + 4$. Графики обеих функций — прямые линии, симметричные относительно прямой $y=x$. Прямая $y = 0,5x - 2$ проходит через точки $(0; -2)$ и $(4; 0)$. Прямая $y = 2x + 4$ проходит через точки $(-2; 0)$ и $(0; 4)$.

2) $y = x^2 - 4$, если $x \ge 0$

Данная функция $y = x^2 - 4$ с ограничением $x \ge 0$ представляет собой правую ветвь параболы, вершина которой находится в точке $(0; -4)$.

Найдем несколько точек для построения графика:

При $x = 0$, $y = 0^2 - 4 = -4$. Вершина в точке $(0; -4)$.

При $y = 0$, $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем $x = 2$. Точка пересечения с осью Ox: $(2; 0)$.

При $x = 3$, $y = 3^2 - 4 = 5$. Точка $(3; 5)$.

Область определения исходной функции $D(y) = [0; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-4; +\infty)$.

Теперь найдем обратную функцию. В уравнении $y = x^2 - 4$ поменяем местами $x$ и $y$:

$x = y^2 - 4$

Выразим $y$:

$y^2 = x + 4$

$y = \pm\sqrt{x + 4}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge -4$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной, то есть $y \ge 0$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только положительный корень, следовательно, обратная функция имеет вид: $y = \sqrt{x + 4}$.

График функции $y = \sqrt{x + 4}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной исходной относительно прямой $y = x$.

Найдем несколько точек для построения графика обратной функции:

При $x = -4$, $y = \sqrt{-4 + 4} = 0$. Начальная точка $(-4; 0)$.

При $x = 0$, $y = \sqrt{0 + 4} = 2$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.

При $x = 5$, $y = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5; 3)$.

Таким образом, для построения в одной системе координат необходимо начертить правую ветвь параболы $y = x^2 - 4$, выходящую из точки $(0; -4)$ и проходящую через $(2; 0)$, и график функции $y = \sqrt{x + 4}$, выходящий из точки $(-4; 0)$ и проходящий через $(0; 2)$.

Ответ: Обратная функция: $y = \sqrt{x+4}$. График исходной функции — правая ветвь параболы $y = x^2-4$ с вершиной в $(0; -4)$ и областью определения $x \ge 0$. График обратной функции — ветвь параболы $y=\sqrt{x+4}$ с началом в точке $(-4; 0)$ и областью определения $x \ge -4$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.