Номер 34, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Решите неравенство:

1) $(x + 3,2)(x - 4) \ge 0;$

2) $(x + 7)(x - 6)(x - 14) < 0;$

3) $(2x + 3)(4x - 3)(x - 10) \ge 0;$

4) $(5 + x)(x + 1)(3 - x) < 0;$

5) $(x + 6,8)(1 - x)(2 - x) \ge 0;$

6) $(5x + 20)(2 - 6x)(6x - 12)(9 - 2x) \le 0.$

Для решения данных неравенств используется метод интервалов. Суть метода заключается в следующем:

1. Найти нули (корни) функции, стоящей в левой части неравенства.
2. Отметить эти нули на числовой оси. Они разобьют ось на интервалы.
3. Определить знак функции на каждом из полученных интервалов, подставив любое значение из интервала в функцию.
4. Выбрать интервалы, которые удовлетворяют знаку неравенства.

1) $(x + 3,2)(x - 4) \ge 0$

Находим нули функции:
$x + 3,2 = 0 \Rightarrow x_1 = -3,2$
$x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$

Отмечаем точки $-3,2$ и $4$ на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки включаются в решение (закрашенные).

Определяем знаки на интервалах:

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $(5 + 3,2)(5 - 4) = 8,2 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
• При $-3,2 < x < 4$ (например, $x=0$): $(0 + 3,2)(0 - 4) = 3,2 \cdot (-4) < 0$. Знак "-".
• При $x < -3,2$ (например, $x=-4$): $(-4 + 3,2)(-4 - 4) = -0,8 \cdot (-8) > 0$. Знак "+".

Знаки на оси: $(+) \rightarrow [-3,2] \rightarrow (-) \rightarrow [4] \rightarrow (+)$.

Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3,2] \cup [4; +\infty)$.

2) $(x + 7)(x - 6)(x - 14) < 0$

Находим нули функции:
$x_1 = -7$, $x_2 = 6$, $x_3 = 14$.

Отмечаем точки на оси. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки не включаются (выколотые).

При $x > 14$ выражение положительно. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах чередуются.

Знаки на оси: $(-) \rightarrow (-7) \rightarrow (+) \rightarrow (6) \rightarrow (-) \rightarrow (14) \rightarrow (+)$.

Выбираем интервалы со знаком "-", так как неравенство $< 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (6; 14)$.

3) $(2x + 3)(4x - 3)(x - 10) \ge 0$

Находим нули функции:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -1,5$
$4x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 0,75$
$x - 10 = 0 \Rightarrow x_3 = 10$

Точки $-1,5$, $0,75$, $10$ включаются в решение.

При $x > 10$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Знаки на оси: $(-) \rightarrow [-1,5] \rightarrow (+) \rightarrow [0,75] \rightarrow (-) \rightarrow [10] \rightarrow (+)$.

Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.

Ответ: $x \in [-1,5; 0,75] \cup [10; +\infty)$.

4) $(5 + x)(x + 1)(3 - x) < 0$

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в каждой скобке был положительным.
$(x + 5)(x + 1)(-(x - 3)) < 0$
Домножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$(x + 5)(x + 1)(x - 3) > 0$

Находим нули: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$, $x_3 = 3$. Точки выколотые.

При $x > 3$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Знаки на оси: $(-) \rightarrow (-5) \rightarrow (+) \rightarrow (-1) \rightarrow (-) \rightarrow (3) \rightarrow (+)$.

Выбираем интервалы со знаком "+", так как решаем преобразованное неравенство $> 0$.

Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (3; +\infty)$.

5) $(x + 6,8)(1 - x)(2 - x) \ge 0$

Преобразуем неравенство:
$(x + 6,8)(-(x - 1))(-(x - 2)) \ge 0$
$(x + 6,8)(x - 1)(x - 2) \ge 0$

Находим нули: $x_1 = -6,8$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$. Точки закрашенные.

При $x > 2$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Знаки на оси: $(-) \rightarrow [-6,8] \rightarrow (+) \rightarrow [1] \rightarrow (-) \rightarrow [2] \rightarrow (+)$.

Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.

Ответ: $x \in [-6,8; 1] \cup [2; +\infty)$.

6) $(5x + 20)(2 - 6x)(6x - 12)(9 - 2x) \le 0$

Вынесем общие множители и преобразуем скобки:
$5(x + 4) \cdot (-2)(3x - 1) \cdot 6(x - 2) \cdot (-(2x - 9)) \le 0$
$5 \cdot (-2) \cdot 6 \cdot (-1) \cdot (x + 4)(3x - 1)(x - 2)(2x - 9) \le 0$
$60(x + 4)(3x - 1)(x - 2)(2x - 9) \le 0$
Разделим обе части на 60 (знак неравенства не меняется):
$(x + 4)(3x - 1)(x - 2)(2x - 9) \le 0$

Находим нули:
$x_1 = -4$, $x_2 = 1/3$, $x_3 = 2$, $x_4 = 9/2 = 4,5$. Точки закрашенные.

При $x > 4,5$ выражение положительно. Знаки чередуются.

Знаки на оси: $(+) \rightarrow [-4] \rightarrow (-) \rightarrow [1/3] \rightarrow (+) \rightarrow [2] \rightarrow (-) \rightarrow [4,5] \rightarrow (+)$.

Выбираем интервалы со знаком "-", так как неравенство $\le 0$.

Ответ: $x \in [-4; \frac{1}{3}] \cup [2; 4,5]$.