Номер 40, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^2 + 5x}{x^2 - 25} \geq 0;$

2) $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 8x + 15} \leq 0.$

Решим неравенство $\frac{x^2 + 5x}{x^2 - 25} \ge 0$.

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $x^2 + 5x = x(x+5)$.

Знаменатель: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ (по формуле разности квадратов).

Неравенство принимает вид: $\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$(x-5)(x+5) \ne 0$, откуда получаем $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

Для решения неравенства используем метод интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x(x+5)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=-5$.

Нули знаменателя: $(x-5)(x+5)=0 \Rightarrow x=5$ или $x=-5$.

Отметим полученные точки $(-5, 0, 5)$ на числовой оси. Точки, в которых знаменатель равен нулю ($x=5$ и $x=-5$), выкалываем (они не входят в решение). Точка, в которой числитель равен нулю ($x=0$), будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

При условии $x \ne -5$, можно сократить дробь на $(x+5)$. Неравенство примет вид $\frac{x}{x-5} \ge 0$. Решим это упрощенное неравенство, помня об ОДЗ.

Критическими точками являются $x=0$ и $x=5$. Они разбивают числовую ось на три интервала. Определим знак выражения $\frac{x}{x-5}$ на каждом из них:

• Интервал $(5, +\infty)$: возьмем $x=6$, $\frac{6}{6-5} = 6 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(0, 5)$: возьмем $x=1$, $\frac{1}{1-5} = -0.25 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty, 0)$: возьмем $x=-1$, $\frac{-1}{-1-5} = \frac{1}{6} > 0$. Знак "+".

Мы ищем промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, 0]$ и $(5, +\infty)$.

Теперь вернемся к ОДЗ: $x \ne -5$. Точка $x=-5$ попадает в промежуток $(-\infty, 0]$, поэтому ее необходимо исключить из решения.

Окончательное множество решений: $(-\infty, -5) \cup (-5, 0] \cup (5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (-5, 0] \cup (5, +\infty)$.

Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 8x + 15} \le 0$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель является полным квадратом: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Для разложения знаменателя $x^2 - 8x + 15$ найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корни равны 3 и 5. Тогда $x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$.

Подставим разложения в исходное неравенство:

$\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x-5)} \le 0$.

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.

$(x-3)(x-5) \ne 0$, откуда $x \ne 3$ и $x \ne 5$.

Так как $x \ne 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$. Получим более простое неравенство:

$\frac{x-3}{x-5} \le 0$.

Решим его методом интервалов. Критические точки: $x=3$ (нуль числителя) и $x=5$ (нуль знаменателя).

Определим знаки выражения $\frac{x-3}{x-5}$ на полученных интервалах:

• Интервал $(5, +\infty)$: возьмем $x=6$, $\frac{6-3}{6-5} = 3 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(3, 5)$: возьмем $x=4$, $\frac{4-3}{4-5} = -1 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-\infty, 3)$: возьмем $x=0$, $\frac{0-3}{0-5} = 0.6 > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где стоит знак "-", а также точка, где числитель равен нулю. Получаем промежуток $[3, 5)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, согласно которому $x \ne 3$ и $x \ne 5$.

Из решения $[3, 5)$ нужно исключить точку $x=3$. Точка $x=5$ уже исключена.

Таким образом, решением является интервал $(3, 5)$.

Ответ: $(3, 5)$.